矩阵初等变换及其应用毕业论文所有专业文档格式.docx

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课题来源：

矩阵初等变换及其应用

课题研究的目的和意义：

由于矩阵的初等变换贯穿着代数学习的始终，那么掌握好矩阵的初等变换对我们学习好高等代数有很大帮助。

本文对初等变换的应用做了总结，使读者能够系统地了解初等变换在不同地方的应用。

方便读者日后学习中使用初等变换解题。

很多复杂、繁琐的问题经过初等变换都可以化为简单、易于解决的问题。

所以对于矩阵的初等变换的研究具有非常重要的意义。

国内外同类课题研究现状及发展趋势：

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：

本文主要探究矩阵的初等变换在高等代数、线性代数中的应用。

总结了矩阵的初等变换的一些基本概念和重要结论，然后根据这些概念和结论，把矩阵的初等变换的方法应用到解决各类问题当中。

并把初等变换应用的具体方法提炼出来，方便日后解题使用。

在研究过程中，方法的总结是最主要的内容，也是研究的目的。

经过对大量习题的研究、比对，对参考文献的研究，最后将初等变换在具体问题中的具体方法用最简洁、直观的方式总结出来。

课题研究起止时间和进度安排：

起止时间：

2011年11月25日至2012年4月25日。

进度安排：

1、2011年11月25日定题

2、2011年11月26-12月1日拟定大纲

3、2011年12月2日-12月31日资料查询，写好开题报告。

4、2012年1月1日-2月1日理论分析。

5、2012年2月2日到4月1日形成初稿，并修改论文。

6、2012年4月2日到4月25日定稿及准备答辩。

课题研究所需主要设备、仪器及药品：

无

外出调研主要单位，访问学者姓名：

指导教师审查意见：

同意开题。

指导教师（签字）

　　　　年月

教研室（研究室）评审意见：

____________教研室（研究室）主任（签字）

　　　　年月

院（系）审查意见：

____________院（系）主任（签字）

学士学位论文

学生焦阳

焦阳

摘要：

初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。

本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。

并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。

关键词：

矩阵初等变换初等矩阵

在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。

本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。

虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。

定义1：

矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换：

（1）交换矩阵的两行（列）（交换第i，j两行（列），记作）；

（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k乘以第i行（列），记作；

（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上（第i行（列）k倍加到第j行（列），记作。

初等行、列变换统称为初等变换。

定义2：

对单位矩阵I仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为，，，有

==

初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。

定理1：

对mn矩阵A，作一次初等行（列）变换所得的矩阵B，等于以一个相应的m阶（n阶）初等矩阵左（右）乘A。

下面将介绍几种实用初等变换的方法。

由于侧重实际应用方面，在表述方面着重讲清基本概念、原理和计算方法，避免繁琐、冗长的理论推导和证明，力求简明准确；

将抽象的理论，从具体问题入手，通过典型例题对基本概念、所涉及的方法进行融会贯通。

1、求矩阵的秩

由于初等变换不改变矩阵的秩，如果我们要求一个矩阵的秩，可以先利用行初等变换将其化为行阶梯形矩阵。

行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数，行阶梯形矩阵的秩就是原矩阵的秩。

这样我们就可以求出原矩阵的秩。

在mn矩阵A中，任取k行k列（km，kn），位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在A中所处的位置次序二而得到的k阶行列式，称为A的k阶子式。

矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作r（A），并规定零矩阵的秩等于零。

初等变换不改变矩阵的秩。

推论1：

若A是一个的矩阵，经过初等变换可以得到一个行阶梯形矩阵B，显然B与A等价，有r（A）=r（B）。

例1求矩阵A的秩，A=。

解：

A=。

所以由推论得：

A的秩为3。

例2求矩阵A=的秩r（A）。

A==B

所以r（B）=2，r（A）=r（B）=2。

矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征，矩阵的许多重要性质都可以通过它来反映，如矩阵非零子式的最高阶数，矩阵行（列）向量组的线性相关性等。

2、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵

可逆矩阵在线性代数中具有很重要的地位，但若是用伴随矩阵的方式来求一个矩阵的逆矩阵工作量非常大。

然而根据可逆矩阵与初等矩阵之间的关系，矩阵求逆的问题可以通过初等变换很轻松的解决。

利用初等变换判定矩阵为可逆阵的方法有：

1）满秩法：

n阶矩阵A为可逆阵的充要条件是r（A）=n。

2）初等变换法：

n阶矩阵A为可逆阵的充要条件是可通过对A作有限次行（或列）初等变换后化为单位阵。

矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

例1判定矩阵A=是否可逆。

A=，

所以r（A）=3，即矩阵A为满秩，故矩阵A可逆。

A=

，

所以矩阵A可逆。

一种求逆的方法：

将分块矩阵进行行初等变换，当前面一块变成单位矩阵时，后

面一块就是。

例2设A=，求。

因为A=

有

所以=。

另一种求逆方法：

将分块矩阵进行列初等变换，当上面一块变成单位矩阵时，下面

一块就是。

例3已知矩阵A=可逆，用列初等变换法求。

=

从而得到：

A-1=。

在用初等变换法求逆的过程中，或从始至终只作行的初等变换，或从始至终只作列初等变换。

绝不能同时作行与列的初等变换。

3、判断线性方程组解的状况

齐次线性方程组有个明显的零解x=0，称其为平凡解。

于是，对于齐次线性方程组，只需研究其在何种情况下有非零解（非平凡解）。

n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分且必要条件为它的系数矩阵的秩r（A）<

n;

它只有零解的充分必要条件是r（A）=n。

定理2：

n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广解阵的秩。

判断线性方程组解的状况就是先求出线性方程组的系数矩阵的秩r（A）与增广矩阵的秩r（B），然后比较r（A）与r（B）。

当r（A）小于r（B）时，方程组无解；

当r（A）等于r（B）等于未知量的个数时，方程组有唯一解；

当r（A）等于r（B）并小于未知量的个数时，方程组有无穷多解。

例1已知齐次线性方程组

有非平凡解，求的值。

齐次线性方程组有非平凡解，必有系数矩阵A的秩r（A）<

A=

为了使r（A）<

3，必须+8=0，即=-8时齐次线性方程组有非平凡解。

例2判断线性方程组是否有解？

对相应的增广矩阵进行初等行变换

B=

则r（A）=2，r（B）=3，r（A）r（B）,所以，原线性方程组无解。

例3讨论取何值时方程组有唯一解、无穷多解、无解。

对增广矩阵实施初等行变换

B=

当=1时，r（A）=r（B）=1<

3，方程组有无穷多解；

当1时，继续变换

所以，当1并且-2时，r（A）=r（B）=3,方程组有唯一解。

当=-2时，r（A）=2<

r（B）=3，方程组无解。

在判定含有参量的线性方程组有没有解及有多少解的问题时，需要注意的是：

由于所含的参数是不确定的数值，所以在对增广矩阵施行行初等变换的时候，应当考虑作变换时所用的“数”（如果它是含参量的一个代数式）是否可能为零（对某参量的取值），是否有意义，即（无论参量的取值如何）分母是否为零等，以决定所作的变换是否可施行。

4、解线性方程组的一般解及基础解系

线性代数的起源之一，是解线性方程组的问题。

解一个线性方程组最基本的方法是所谓“加减消元法”。

这种方法有三个基本操作：

方程组中两个方程互换，一个方程两边乘一非零常数，一个方程加另一个方程的若干倍。

用初等行变换解线性方程组的步骤是：

（1）将增广矩阵B=（Ab）化为行阶梯矩阵，若R（B）R（A），则方程组无解；

若R（B）=R（A），则进行下一步。

（2）将增广矩阵进一步化为行最简形矩阵；

（3）写出同解方程组（用自由未知量表示其余未知量）；

（4）写出方程组的通解（参数形式或向量形式）。

例1求线性方程组的解。

设B是线性方程组的增广矩阵，于是

于是，得到同解的方程组为

将这方程组改写为

通过回代，将作为自由未知量，得到原方程组的一般解：

。

例2求四元齐次线性方程组的一般解和一个基础解系。

A=，

得到一般解：

由此可得到方程组的一个基础解系为

。

利用矩阵初等变换解线性方程组就是将方程组的增广矩阵进行初等变换，从而得到与原

方程组同解的梯形线性方程组。

再通过回代得到原方程组的一般解。

在解线性方程组的时候只允许使用交换系数矩阵中的两列，而不得使用其余的两种初等

列变换，此时相当于交换两个未知量的次序。

但是，在实际解方程组时，我们不必要这么做，

更不要把最后一列与前面某一列交换。

此外，由于其余两种初等列变换不是“同解变换”，

因此在解方程组时，不允许使用。

5、证向量的线性相关性、求向量组的极大无关组

求向量组的极大线性无关组,最方便,最常用的方法可能要数初等变换法了，这也是我们

最容易掌握的。

设是向量空间V的r个向量。

如果存在F中不全为零的数a1，a2，

ar使得，那么就说线性相关。

设向量组T。

如果它的一个部分组满足：

（1）线性无关；

（2）任取T，则，线性相关。

则称部分组为向量组T的一个最大无关组。

设rn，则n维向量组线性无关的充分必要条件是它构成的矩阵

A=的秩等于向量的个数r。

证向量组的线性相关性的步骤是：

一、求向量组所构成的矩阵的秩；

二、比较向量组所构成的矩阵的秩与向量组向量的个数。

若向量组所构成的矩阵的秩等于向量组向量的个数，那么，向量组线性相关。

若向量组所构成的矩阵的秩小于向量组向量的个数，那么，向量组线性无关。

例1已知，，，试讨论向量组b1,b2,