三角形的等积变形Word下载.doc
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这个公式告诉我们:
三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小).同样若三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小).这说明;
当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。
这就是说一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:
一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.
为便于实际问题的研究,我们还会常常用到以下结论:
①等底、等高的两个三角形面积相等.
②底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等.
③若两个三角形的高(或底)相等,其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.
例1.△ABC的面积是△ABD或△ADE或△AEC面积的3倍
例2.△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC),它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上,(也就是它们的高相等),那么这两个三角形的面积相等.
例3.△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC),△ABC的高是△DBC高的2倍(D是AB中点,AB=2BD,有AH=2DE),则△ABC的面积是△DBC面积的2倍.
例4.用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形
方法1:
方法2:
方法3:
方法4:
例5、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的面积比为及1∶3∶4.
方法2:
当然本题还有许多种其他分法,同学们可以自己寻找解决.
例6、如右图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,求证:
△AOB与△COD面积相等.
例7、如右图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形.
解:
①连结BD;
②过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A′.
③连结A′D,则△A′CD与四边形ABCD等积.
例8、如右图,已知在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD.若△ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积。
解法1:
连结BD,在△ABD中
∵BE=3AE,
∴S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米).
在△ABC中,∵CD=2AD,
∴S△ABC=3S△ABD=3×
4=12(平方厘米).
解法2:
连结CE,如右图所示,在△ACE中,
∵CD=2AD,
∴S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米).
在△ABC中,∵BE=3AE
∴S△ABC=4S△ACE
=4×
3=12(平方厘米).
例9、如下页图,在△ABC中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=1/3BC,求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几?
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例10、如右图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.
连结AF、CE,∴S△ADE=S△ACE;
S△CDF=S△ACF;
又∵AC与EF平行,∴S△ACE=S△ACF;
∴S△ADE=S△CDF=4(平方厘米).
例11、如右图,四边形ABCD面积为1,且AB=AE,BC=BF,DC=CG,AD=DH.求四边形EFGH的面积。
连结BD,将四边形ABCD分成两个部分S1与S2.连结FD,有S△FBD=S△DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1.
同理S△AEH=2S2,
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×
1=2.
同理,连结AC之后,可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位).
例12、如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若S△ADE=1,求△BEF的面积.
连结AC,∵AB//CD,∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC,∴S△ACF=S△ABF
而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1.
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