河北省保定市届高三模拟考试三理科数学Word格式.docx

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S1＋

Sn＜1＋

2＋

2n－1＝

＝2－1

S2＋…＋

22＋…＋

2n－1＜2．…12分

18．解：

（1）取AB1的中点E，连接EM，EN，

2BB1，

又N为CC1的中点，CC1∥BB1，

所以NC∥BB1，NC＝1

在△ABB1中，E，M分别是AB1，AB的中点，

则EM∥BB1，且EM＝1

从而有EM∥NC且EM＝NC，

所以四边形EMCN为平行四边形，所以CM∥NE．

又因为CM⊄平面B1AN，NE⊂平面B1AN，

所以CM∥平面B1AN．…5分

（2）因为AC＝BC，M为AB的中点，所以CM⊥AB，

直三棱柱ABC—A1B1C1中，由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CM，

又因为AB∩AA1＝A，所以CM⊥平面ABB1A1，从而A1M⊥CM，

又因为A1M⊥B1C，B1C∩CM＝C，所以A1M⊥平面B1MC，

从而有A1M⊥B1M，

因为AC＝BC＝4，AB＝43，AM＝MB，所以AA1＝AM＝23．

由

（1）知EM∥BB1，所以EM⊥平面ABC．

以M为坐标原点，→MB，→MC，→ME为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系M-xyz，则A（－23，0，0），A1（－23，0，23），B1（23，0，23），

高三理科数学参考答案第1页

z

C（0，2，0），N（0，2，3）．

所以A→1M＝（23，0，－23），

→AB1＝（43，0，23），→AN＝（23，2，3）．

A1C1

B1

设平面B1AN的法向量为n＝（x，y，z），

→AB1·

n＝0，→AN·

n＝0，

则

即

43x＋23z＝0，

23x＋2y＋3z＝0，

10，

所以平面B1AN与平面B1MC所成锐二面角的余弦值为310

取x＝1，则n＝（1，0，－2），

平面B1MC的法向量为A→1M＝（23，0，－23），cos〈A→1M，n〉＝310

A

E

M

B

x

N

C

y

10．…12分

19．解：

（1）因为X＝Y∈（300，600]，所以g（X）＝g（Y），

当X∈（300，400]时，f（X）－g（X）＝（1800＋4X）－（2100＋3X）＝X－300＞0，

当X∈（400，600]时，f（X）－g（X）＝（1800＋4X）－（2100＋4X）＝－300＜0，

故当X∈（300，400]时，f（X）＞g（X），

当X∈（400，600]时，f（X）＜g（X）．…4分

5

15

（2）（ⅰ）送餐量x的分布列为

13

14

16

17

18

20

P

送餐量y的分布列为

6

10

30

5＋16×

5＋17×

5＋18×

15＋20×

15＝16，

15＋14×

则E（x）＝13×

11

E（y）＝11×

6＋14×

5＋15×

10＋16×

6＋18×

15＋13×

30＝14．…10分

（ⅱ）E（X）＝30E（x）＝480∈（300，600]，E（Y）＝30E（y）＝420∈（400，＋∞），

美团外卖配送员，估计月薪平均为1800＋4E（X）＝3720元，

饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2100＋4E（Y）＝3780元＞3720元，

故小王应选择做饿了么外卖配送员．…12分

20．解：

（1）因为抛物线Г：

x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），

所以抛物线Г的方程为x2＝4y．

由直线l1的斜率为k1，且过F（0，1），得l1的方程为y＝k1x＋1，

代入x2＝4y化简得x2－4k1x－4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝4k1，y1＋y2＝k1（x1＋x2）＋2＝4k12＋2，

|AB|＝y1＋y2＋2＝4k21＋4．

因为k1＝3，所以|AB|＝16．…5分

高三理科数学参考答案第2页

（2）设P（x0，x02

4），

将Г的方程x2＝4y化为y＝x2

2，

因为斜率为k2的直线l2与Г相切于点P，所以k2＝x0

4，求导得y'

＝

＝2k12－1

2k1

2，则P（2k2，k22），

由

（1）知x1＋x2＝4k1，且Q为AB的中点，易得Q（2k1，2k21＋1），

，…10分

整理得（k1k2＋1）（k2－2k1）＝0，

因为l2与l1不垂直，所以k1k2＋1≠0，则k2－2k1＝0，即k1

因为直线PQ过（0，2），所以k22－2

2k2

2．…12分

k2＝

21．解：

（1）g（x）＝f'

（x）＝lnx＋1－1

2－x

2x

x－

2＝

2x－a，g'

（x）＝

，

当x∈（0，2）时，g'

（x）＞0，g（x）单调递增；

当x∈（2，＋∞）时，g'

（x）＜0，g（x）单调递减；

故当x＝2时，g（x）的最大值为g

（2）＝ln2－a．

若a＝ln2，g（x）取得最大值g

（2）＝0．…4分

（2）（ⅰ）

若a＝ln2，由

（1）知，当x∈（0，＋∞）时，f'

（x）≤0，且仅当x＝2时，f'

（x）＝0．

此时f（x）单调递减，且f

（2）＝0，故f（x）只有一个零点x0＝2．…5分

（ⅱ）若a＞ln2，由

（1）知，当x∈（0，＋∞）时，f'

（x）＝g（x）＜0，f（x）单调递减．

4a＜1，

我们知道，（xlnx）'

＝lnx＋1，故xlnx≥－1

e，

f（x1）＝x1lnx1－1

此时，f

（2）＝2（ln2－a）＜0，注意到x1＝1

2＋3

e－

4＋

3

4＝

2－

4x1

4＞－

e＞0，

故f（x）仅存在一个零点x0∈（x1，2）．…8分

2e－a＜0，f'

（8）＝ln8－3－a＜0，

（ⅲ）若0＜a＜ln2，则g（x）的最大值g

（2）＝ln2－a＞0，

即f'

（2）＞0，注意到f'

（1

故存在x2∈（1

e）＝－

2x2－1）2＞0，则f（x3）＞0．

2x2－a＝0，故f（x2）＝（

e，2），x3∈（2，8），使得f'

（x2）＝f'

（x3）＝0．则当x∈（0，x2）时，f'

（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（x2，x3）时，f'

（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（x3，＋∞）时，f'

（x）＜0，f（x）单调递减．故f（x）有极小值f（x2），有极大值f（x3）．

由f'

（x2）＝0得lnx2＋1－1

4x＜0，

4t＝0，且当x＞t时，lnx－

存在实数t∈（4，16），使得lnt－1

高三理科数学参考答案第3页

记x4＝max{t，1

4x4）－ax4＋1≤0，

a}，则f（x4）＝x4（lnx4－

故f（x）仅存在一个零点x0∈（x3，x4]．

综上，f（x）有且仅有一个零点．（另见附注）…12分

22．解：

（1）曲线C的普通方程为：

x2

y2

3＝1，

直线l的直角坐标方程为：

x－y－1＝0．…4分

＝|7cos（φ＋α）－1|

（2）由题意知：

A（1，0），B（4，3），所以|AB|＝32．

设点P（2cosφ，3sinφ），则点P到AB的距离为

d＝|2cosφ－3sinφ－1|

3（7＋1）

所以△PAB的面积S＝1

2|7cos（φ＋α）－1|≤

2·

|AB|·

d＝

．…10分

即△PAB的面积S的最大值为3（7＋1）

23．解：

（1）∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

∴2（a2＋b2＋c2）≥2ab＋2bc＋2ca，

∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3（a2＋b2＋c2）＝9.

∴|a＋b＋c|≤3，当且仅当a＝b＝c＝1或a＝b＝c＝－1时，取等号.

故|a＋b＋c|的最大值为3.…5分

c

y时取等号，故ax＋（b＋c）y≤3，

故ax＋（b＋c）y＝2不能成立.…10分

附注：

21题

（2）的一个解法

解：

因为f（x）＝xlnx－1

b

y＝

（2）不能成立.理由如下：

由柯西不等式，得（ax＋by＋cy）2≤（a2＋b2＋c2）（x2＋y2＋y2）＝3，

x＝

当且仅当a

4x2－ax＋1，a＞0，x＞0有且仅有一个零点，

x，

4x＋

所以a＝lnx－1

令h（x）＝lnx－1

－x2＋4x－4

4x2

＝－（x－2）2

4－

x2＝

≤0，

h'

（x）＝1

h（x）在（0，＋∞）单调递减，h（e3）＝3－e3

e3＜0，

x→0，h（x）→＋∞，

因为a＞0，

高三理科数学参考答案第4页

所以y＝a与h（x）＝lnx－1

所以f（x）有且仅有一个零点．（酌情扣1－2分）

x有唯一的交点，

高三理科数学参考答案第5页