赵树嫄微积分导数与微分PPT课件下载推荐.ppt
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,解,所求切线方程为,或,或,L的斜率,29,(三)左、右导数,2、右导数:
1、左导数:
30,例9,解,31,例10,解,32,(四)可导与连续的关系,定理函数在可导点处必连续.,证,33,例如,注意:
该定理的逆定理不成立:
连续未必可导。
34,(或称导数无穷大),注意:
此时存在铅直切线。
35,例如,极限不存在,但,例11,解,37,第三节导数的基本公式与运算法则,
(一)常数的导数,即,则,
(二)幂函数的导数,以后证明:
特别,,则,(三)代数和的导数,证,注:
公式可推广到有限多个函数的代数和。
40,例1求下列函数的导数:
(四)乘积的导数,证,42,推论,证,2、可推广到有限多个函数的乘积,如,一般地,有,43,例2求下列函数的导数:
或用定义:
(五)商的导数,证,45,所以,46,47,例3求下列函数的导数:
或解,(六)对数函数的导数,即,Naturallogisnatural.,由对数换底公式,(七)指数函数的导数,即,特别地,(八)三角函数的导数,即,类似有,51,例4,解,类似可得,即,52,例5,解,类似可得,即,53,三角函数的导数公式,54,例6求下列函数的导数:
55,例7,解,例8,解,56,训练:
求导数,或解:
(九)复合函数的导数,推广,证略,58,例9,解,例10,解,例11,解,59,例12,解,例13,解,60,例14,解,61,例15,解,62,训练:
求导数,63,(十)反函数的导数,定理,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
证略,(十一)反三角函数的导数,例16,解,类似有,65,例17,解,类似有,66,反三角函数的导数公式,67,例18求下列函数的导数:
(十二)隐函数的导数,问题:
隐函数能否不经显化而直接求导?
69,例19,解,比较:
70,解,例20,解得,方程两边关于x求导,得,解,例21,解得,方程两边关于x求导,得,71,例22,解,注:
先代入数值,再解方程,较简便。
方程两边关于x求导,得,72,解,例23,所求切线方程为,方程两边关于x求导,得,73,解,先变形为,再两边关于x求导,,例24,(十三)取对数求导法,观察函数,方法:
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数。
适用范围:
75,例25,解,等式两边取对数得,注意:
需把y换回成原来表达式。
上式两边关于x求导,得,76,说明:
所以,故省略绝对值。
77,练习:
解,等式两边取对数得,上式两边关于x求导,得,78,例26,解,等式两边取对数得,或解,上式两边关于x求导,得,79,例27,解,等式两边取对数得,方程两边关于x求导,得,80,思考:
解,用对数求导法得,-局部对数求导法,81,例28,解,(十四)由参数方程所确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,即,83,例29,解,84,例30,解,所求切线方程为,(十五)导数公式,86,87,第四节高阶导数,问题:
变速直线运动的加速度。
88,解,例1求下列函数的二阶导数:
(1),
(2),(3),(4),89,例2,解,90,例3,解,91,例4,求n阶导数:
解,92,例5,解,93,例6,解,94,例7,解,类似可得,归纳可证,例8,解,或解,96,常用n阶导数公式:
(不为正整数),97,第五节函数的微分,实例:
正方形金属薄片受热后面积的改变量.,
(一)微分的定义,
(1),
(2),98,问题:
则函数的改变量为,99,定义,differential,100,定理,证,
(1)必要性,101,定理,证,
(2)充分性,102,所以导数也称为“微商”.,103,
(二)微分的几何意义,M,N,),几何意义:
(如图),以直代曲,104,例1,解,所以,例2,解,105,(三)基本微分公式,106,107,微分法则:
108,(四)微分形式的不变性,结论:
此性质称为一阶微分的形式不变性。
109,例3,解法1,解法2,分析,微分的计算:
计算函数的导数,乘以自变量的微分.,也可利用微分的形式不变性计算。
110,例4,解,例5,解,111,例6,解,112,(五)微分在近似计算中的应用,或写成,113,例7,解,球,周长,球壳,114,例8,解,常用近似公式,
(1)证,116,注意联系等价无穷小:
常用近似公式,117,例9求下列各数的近似值:
解,解,118,END,END,