人教a版高中数学必修五全册配套6Word文档下载推荐.docx

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2AC×

＝，∴AC＝1，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·

AC·

cosA＝22＋12－2×

2×

1×

＝3.∴BC＝.

4．在△ABC中，2acosB＝c，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

解析　方法一　由余弦定理，得2a＝c.所以a2＋c2－b2＝c2.则a＝b.则△ABC是等腰三角形．

方法二　由正弦定理，得2×

2RsinAcosB＝2RsinC，即2sinAcosB＝sinC.又sin（A＋B）＋sin（A－B）＝2sinAcosB，所以sin（A＋B）＋sin（A－B）＝sinC.又A＋B＋C＝π，所以sin（A＋B）＝sinC.所以sin（A－B）＝0.又0<

A<

π，0<

B<

π，则－π<

A－B<

π.所以有A＝B，则△ABC是等腰三角形．

讲评　方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；

方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin（A＋B）＋sin（A－B）＝2sinAcosB，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．

5．（2013·

安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝（　　）

A.B.

C.D.

解析　∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①

又b＋c＝2a，②

∴由①②可得，a＝b，c＝b.

∴cosC＝＝＝－.

∴C＝π.

6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x，则x的取值范围是（　　）

A．1<

x<

B．4<

C．1<

4D．4<

答案　D

解析　若5最大，则32＋x2－52>

0，得x>

4.

若x最大，则32＋52－x2>

0，得0<

.

又2<

8，则4<

7．在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A、B、C的度数依次是________．

答案　45°

、30°

、105°

解析　∵a＝b，a2＝b2＋c2－2bccosA.

∴2b2＝b2＋c2－2bccosA，又∵c2＝b2＋bc，

∴cosA＝，A＝45°

，sinB＝，B＝30°

，∴C＝105°

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝______.

答案　

解析　由正弦定理，得（sinB－sinC）cosA＝sinAcosC.

化简得sinBcosA＝sin（A＋C）．

∵0<

sinB≤1，∴cosA＝.

9．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.

（1）求B的大小；

（2）若a＝3，c＝5，求b.

解析　

（1）由a＝2bsinA，得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝.

由△ABC为锐角三角形，得B＝.

（2）根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2acosB＝27＋25－45＝7，所以b＝.

10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.

（1）求A的大小；

（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

解析　

（1）由已知，根据正弦定理，得2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c，即a2＝b2＋c2＋bc.

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.

故cosA＝－，又A∈（0，π），故A＝120°

（2）由

（1）得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.

又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.

因为0°

<

90°

，0°

C<

，故B＝C.

所以△ABC是等腰的钝角三角形．

11．在△ABC中，已知B＝45°

，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解析　在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理，得

cos∠ADC＝＝＝－.

∴∠ADC＝120°

，∠ADB＝60°

在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°

，

由正弦定理，得＝.

∴AB＝＝＝＝5.

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2＋b2－c2）．

（1）求角C的大小；

（2）求sinA＋sinB的最大值．

解析　

（1）由题意可知absinC＝·

2abcosC，

所以tanC＝.因为0<

π，所以C＝.

（2）由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin（π－C－A）

＝sinA＋sin（－A）＝sinA＋cosA＋sinA

＝sin（A＋）≤.

当△ABC为正三角形时取等号，

所以sinA＋sinB的最大值是.

13．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.

（2）求sinB＋sinC的最大值．

解析　

（1）由已知，根据正弦定理，得2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.

故cosA＝－，A＝120°

（2）由

（1），得sinB＋sinC＝sinB＋sin（60°

－B）

＝cosB＋sinB＝sin（60°

＋B）．

故当B＝30°

时，sinB＋sinC取得最大值1.

►重点班·

选作题

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－.

（1）求sinC的值；

（2）当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．

解析　

（1）因为cos2C＝1－2sin2C＝－，及0<

π，所以sinC＝.

（2）当a＝2,2sinA＝sinC时，

由正弦定理＝，得c＝4.

由cos2C＝2cos2C－1＝－，及0<

π得cosC＝±

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得

b2±

b－12＝0，解得b＝或2.

所以或

1．（2013·

辽宁）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>

b，则∠B＝（　　）

A.　　　　　　　　　B.

解析　根据正弦定理，得asinBcosC＋csinBcosA＝b等价于sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin（A＋C）＝.

又a>

b，∴∠A＋∠C＝，∴∠B＝.故选A项．

2．（2012·

北京）在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.

答案　4

解析　由余弦定理，得cosB＝＝＝－，解得b＝4.

3．（2011·

湖北）设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝________.

解析　∵由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，整理，可得a2＋b2－c2＝－ab.

∴cosC＝＝＝－，∴C＝.

4．（2013·

北京）在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.

（1）求cosA的值；

（2）若c的值．

解析　

（1）因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，

所以在△ABC中，由正弦定理，得＝.

所以＝.故cosA＝.

（2）由

（1）知，cosA＝，所以sinA＝＝.

又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.

所以sinB＝＝.

在△ABC中，sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝.

所以c＝＝5.

江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋（cosA－sinA）cosB＝0.

（1）求角B的大小；

（2）若a＋c＝1，求b的取值范围．

解析　

（1）由已知得－cos（A＋B）＋cosAcosB－sinAcosB＝0，即有sinAsinB－sinAcosB＝0.

因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0.

又cosB≠0，所以tanB＝，又0<

π，所以B＝.

（2）由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.

因为a＋c＝1，cosB＝，所以b2＝3（a－）2＋.

又0<

a<

1，于是有≤b2<

1，即≤b<

1.

6．（2013·

四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin（A－B）sinB＋cos（A＋C）＝－，

（2）若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．

解析　

（1）由2cos2cosB－sin（A－B）sinB＋cos（A＋C）＝－，得[cos（A－B）＋1]cosB－sin（A－B）sinB－cosB＝－，

即cos（A－B）cosB－sin（A－B）sinB＝－.

则cos（A－B＋B）＝－，即cosA＝－.

（2）由cosA＝－，0<

π，得sinA＝.

由正弦定理，有＝，所以，sinB＝＝.

由题知a>

b，则A>

B，故B＝.

根据余弦定理，有（4）2＝52＋c2－2×

5c×

（－），解得c＝1或c＝－7（舍去）．

故向量在方向上的投影为||cosB＝.

7．（2013·

重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.

（1）求A；

（2）设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

解析　

（1）由余弦定理，得

cosA＝＝＝－.

又因0<

π，所以A＝.

（2）由

（1）得sinA＝，又由正弦定理及a＝，得

S＝bcsinA＝·

·

asinC＝3sinBsinC.

因此，S＋3cosBcosC＝3（sinBsinC＋cosBcosC）＝3cos（B－C）．

所以，当B＝C，即B＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值3.

8．（2012·

新课标全国）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.

（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

解析　

（1）由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理，得

sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.

因为B＝π－A－C，

所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.

由于sinC≠0，所以sin（A－）＝.

π，故A＝.

（2）△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.

而a2＝b2＋c2－2bcosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.

9．（2012·

辽宁）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．

（1）求cosB的值；

（2）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

解析　（