第5讲--直线、平面垂直的判定及其性质PPT推荐.ppt

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正确，错误,平面和平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直平面和平面垂直的定理

（1）判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直

（2）性质定理：

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于的直线，垂直于另一个平面,直角,一条垂线,它们交线,4,3,【思考】你能用数学符号来表示这两个定理吗？

判定定理：

a，a.性质定理：

，a，b，bab.,已知直线m、n和平面、满足mn，m，则（）AnBn或nCnDn或n解析：

由m或m，当m时若nm，则n与的位置关系不确定，从而A、B两项不正确若n，又m，则mn，这与已知mn矛盾故排除C项答案：

D,1,（2009山东卷）已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：

由面面垂直的判定定理，知m.答案：

B,2,3.如图所示，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60解析：

异面直线AD与CB1所成的角为45.答案：

D,4P为ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：

PABC；

PBAC；

PCAB；

ABBC.其中正确的个数是_解析：

如图所示PAPC、PAPB，PCPB=P，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC、PCAB.但AB不一定垂直于BC.答案：

3个,证明直线和平面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直在证明时要充分利用平面几何中的知识，以达到通过平面内的垂直关系证明空间中的垂直关系的目的,如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：

（1）CDAE；

（2）PD平面ABE.思维点拨：

（1）先证CD平面PAC；

（2）先证AE平面PCD，再证PD平面ABE.,【例1】,证明：

（1）PA底面ABCD，CDPA，又CDAC，PAACA，故CD平面PAC，AE平面PAC，故CDAE.

（2）PAABBC，ABC60，故PAAC.E是PC的中点，故AEPC.由

（1）知CDAE，从而AE平面PCD，故AEPD.易知BAPD，故PD平面ABE.,如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点

（1）求证：

MNCD；

（2）若PDA45，求证：

MN平面PCD.,变式1：

证明：

（1）连结AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，AN=PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，,

（2）连结PM、MC，PDA=45，PAAD，AP=AD.四边形ABCD为矩形，AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90，PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由

（1）知，MNCD，PCCD=C，MN平面PCD.,从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BN=PC.AN=BN，ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.,证面面垂直的方法：

1利用面面垂直的定义，即证明两平面所成的二面角为直二面角2利用两个平面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线（a，a）,如图所示，已知BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且,

（1）求证：

不论为何值，恒有平面BEF平面ABC；

（2）当为何值时，平面BEF平面ACD.,【例2】,证明：

（1）AB平面BCD，ABCD，又CDBC且ABBCB，CD平面ABC.（01），不论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC，而EF平面BEF，不论为何值，恒有平面BEF平面ABC.,

（2）解：

由

（1）知，BEEF，若平面BEF平面ACD，则BE平面ACD，故BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，,AC.,由AB2AEAC，得,平面BEF平面ACD.,如右图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.

（1）设M是PC上的一点，证明：

平面MBD平面PAD；

（2）求四棱锥PABCD的体积,变式2：

（1）在ABD中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2.ADBD.又面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，BD面ABCD，BD面PAD.又BD面BDM，面MBD面PAD.,

（2）解：

过P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，PO=2.在底面四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，四边形ABCD为梯形,在RtADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形的高S四边形ABCD=24.VPABCD=.,垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是每年高考必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样，因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力、逻辑思维能力及语言表达能力的训练,（2009江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C.求证：

（1）EF平面ABC；

（2）平面A1FD平面BB1C1C.思维点拨：

（1）先证EFBC，再证EF平面ABC；

（2）先证A1D平面BB1C1C.,【例3】,证明：

（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EFBC，因为EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF平面ABC.

（2）由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知CC1平面A1B1C1，又A1D平面A1B1C1，故CC1A1D.又因为A1DB1C，CC1B1CC，CC1，B1C平面BB1C1C，故A1D平面BB1C1C.又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.,如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在边BC上，ADC1D.

（1）求证：

AD平面BCC1B1；

（2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E平面ADC1？

请给出证明,变式3：

（1）在正三棱柱中，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1.又ADC1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，AD平面BCC1B1.

（2）解：

由

（1）得ADBC.在正三角形ABC中，D是BC的中点当1，即E为B1C1的中点时，A1E平面ADC1.,在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，B1BDE，B1BDE.又B1BAA1，且B1BAA1，DEAA1，且DEAA1.四边形ADEA1为平行四边形，A1EAD.而A1E平面ADC1，故A1E平面ADC1.,【方法规律】,1垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键,2应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：

（1）两个定理中“平面内”，这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明

（2）两个定理的区别：

从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直线与斜线垂直”，逆定理相反从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直，证明异面直线垂直，逆定理相反利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”“斜线的射影”.,（12分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点

（1）求证：

EF平面ABC1D1；

（2）求证：

EFB1C.,【规范解答】,证明：

（1）连结BD1，如图所示，在DD1B中，E、F分别为DD1，DB的中点，则EF平面ABC1D1.6分,【易入误区】,1.推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由EFD1B就直接得出EF平面ABC1D1；

2线面位置关系的证明思路出错，如本题第

（2）问的证明，缺乏转化的思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误,【状元笔记】,证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第

（2）问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上），通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.,