高考全国卷理科数学试题及答案Word下载.docx

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（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第一、四象限（D）第二、四象限

（2）过点且圆心在直线上的圆的方程是

（A）（B）

（C）（D）

（3）设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

（A）1（B）2（C）4（D）6

（4）若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是

（A）（0，）（B）（0，（C）（，+）（D）（0，+）

（5）极坐标方程的图形是

（A）（B）（C）（D）

（6）函数的反函数是

（7）若椭圆经过原点，且焦点为，则其离心率为

（8）若，，，则

（A）（B）（C）（D）

（9）在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为

（A）60°

（B）90°

（C）105°

（D）75°

（10）设都是单调函数，有如下四个命题：

若单调递增，单调递增，则单调递增；

若单调递增，单调递减，则单调递增；

若单调递减，单调递增，则单调递减；

若单调递减，单调递减，则单调递减；

其中，正确的命题是

（A）（B）（C）（D）

（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：

单向倾斜；

双向倾斜；

四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为.

若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则

（A）（B）（C）（D）

（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。

则单位时间内传递的最大信息量为

（A）26（B）24

（C）20（D）19

第II卷（非选择题90分）

1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二．填空题：

本大题共4小题；

每小题4分，共16分，把答案填在题中横

线上。

（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个椭圆的侧面积是

（14）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上.若⊥，则点到x轴的距离为.

（15）设是公比为的等比数列，是它的前n项和.若是等差数列，则.

（16）圆周上有2n个等分点（），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.

三、解答题：

本大题共6小题；

共74分，解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，

∠°

，⊥面，，

.

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）求面与面所成的二面角的正切值.

（18）（本小题满分12分）

已知复数.

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）当复数满足，求的最大值.

（19）（本小题满分12分）

设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于两点.点在抛物线的准线上，且∥x轴.证明直线经过原点.

（20）（本小题满分12分）

已知是正整数，且.

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明.

（21）（本小题满分12分）

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元.写出的表达式；

（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

（22）（本小题满分14分）

设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且.

（Ⅰ）求及;

（Ⅱ）证明是周期函数；

（Ⅲ）记，求.

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

说明：

一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；

如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一.选择题：

本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）B

（2）C（3）B（4）A（5）C

（6）A（7）C（8）A（9）B（10）C

（11）D（12）D

二.填空题：

本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

（13）2π（14）（15）1（16）2n（n－1）

三.解答题：

（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是

M底面，……2分

∴四棱锥S—ABCD的体积是

M底面

．……4分

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱．……6分

∵AD∥BC，BC=2AD，

∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，

∵SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，

故SB是CS在面SEB上的射影，

∴CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分

∵，BC=1，BC⊥SB，

∴tan∠BSC．

即所求二面角的正切值为．……12分

（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）z1=i（1－i）3=2－2i，

将z1化为三角形式，得

，

∴，．……6分

（Ⅱ）设z=cosα＋isinα，则

z－z1=（cosα－2）＋（sinα＋2）i，

（），……9分

当sin（）=1时，取得最大值．

从而得到的最大值为．……12分

（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．

证明一：

因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线的方程可设为

；

……4分

代入抛物线方程得

y2－2pmy－p2=0，

若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以

y1y2=－p2．……8分

因为BC∥x轴，且点c在准线x=－上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线CO的斜率为

．

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

……12分

证明二：

如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则

AD∥FE∥BC．……2分

连结AC，与EF相交于点N，则

……6分

根据抛物线的几何性质，，

，……8分

∴，

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．……12分

（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：

对于1＜i≤m有

=m·

…·

（m－i＋1），

…，

同理…，……4分

由于m＜n，对整数k=1，2…，i－1，有，

所以，即．……6分

（Ⅱ）证明由二项式定理有

，……8分

由（Ⅰ）知＞（1＜i≤m＜n＝，

而，，……10分

所以，（1＜i≤m＜n＝．

因此，．

又，，．

∴．

即（1＋m）n＞（1＋n）m．……12分

（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；

考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×

（1－）万元，……，第n年投入为800×

（1－）n－1万元．

所以，n年内的总投入为

an=800＋800×

（1－）＋…＋800×

（1－）n－1

=4000×

[1－（）n]；

……3分

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×

（1＋）万元，……，第n年旅游业收入为400×

（1＋）n－1万元．

所以，n年内的旅游业总收入为

bn=400＋400×

（1＋）＋…＋400×

（1＋）n－1

=1600×

[（）n－1]．……6分

（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此

bn－an＞0，

即1600×

[（）n－1]－4000×

[1－（）n]＞0．

化简得5×

（）n＋2×

（）n－7＞0，……9分

设（）n，代入上式得

5x2－7x＋2＞0，

解此不等式，得

，x＞1（舍去）．

即（）n＜，

由此得n≥5．

答：

至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．……12分

（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；

考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．

（Ⅰ）解：

因为对x1，x2∈[0，]，都有f（x1＋x2）=f（x1）·

f（x2），所以

f（）·

f（）≥0，x∈[0，1]．

∵f（）=f（）·

f（）=[f（）]2，

f（）f（）=f（）·

f（）=[f（）]2．……3分

∴f（），f（）．……6分

（Ⅱ）证明：

依题设y=f（x）关于直线x=1对称，

故f（x）=f（1＋1－x），

即f（x）=f（2－x），x∈R．……8分

又由f（x）是偶函数知f（－x）=f（x），x∈R，

∴f（－x）=f（2－x），x∈R，

将上式中－x以x代换，得

f（x）=f（x＋2），x∈R．

这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．……10分

（Ⅲ）解：

由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1]．

∵f（）=f（n·

）=f（＋（n－1）·

）

=f（）·

f（（n－1）·

=f（）·

f（）·

…·

f（）

=[f（）]n，

f（）=，

∴f（）=．

∵f（x）的一个周期是2，

∴f（2n＋）=f（），因此an=，……12分

∴（）=0．……14分