重庆市南开中学届高三下学期第七次质量检测数学试题Word文档格式.docx
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6．已知，则（）
7．已知函数对任意的实数x都满足，且函数的图象关于点对称，若，则（）
A．0B．2C．D．2021
8．已知O为坐标原点，点A在直线上，点B在直线上，其中c为正数，是以O为直角顶点的等腰三角形，若的面积为，则（）
A．1B．C．D．4
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（）
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量X，Y满足，且，则
C．线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
D．设，则越大，正态分布曲线越矮胖
10．抛物线与双曲线具有共同的焦点F，过F作的一条渐近线的垂线l，垂足为H，与交于A、B两点，O为坐标原点，则有（）
A．
B．的渐近线方程为
C．
D．若l的倾斜角为锐角，则经过O、F且与直线l相切的圆的标准方程为
11．如图，在正方体中，E、F分别为棱、的中点，则下列说法正确的有（）
A．直线与直线共面
B．
C．二面角的大小为
D．直线与平面所成角的正弦值为
12．已知函数，其中e是自然对数的底数，a为非零实数，则下列说法正确的是（）
A．对任意的实数a，曲线与曲线都有交点
B．当时，曲线与曲线恰好有一个交点
C．存在实数a，使得曲线与曲线和都有两个交点
D．设是曲线与曲线的一个交点，是曲线与曲线的一个交点，则一定有
三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列对任意正整数n均有成立，且前n项和满足，则______．
14．高三年级拍毕业照时，某班甲、乙丙3名同学邀请该班2名老师站在一排合影留念，若2名老师相邻且不站在两侧，则不同的站法有__________种．
15．已知中，，点M、N满足，且，则的最大值为_________．
16．李华以的速度骑着一辆车轮直径为24寸（1米等于3尺，尺等于10寸）的自行车行驶在一条平坦的公路上，自行车前轮胎上有一块红色的油漆印（图中点A），则点A滚动一周所用的时间为______秒（用表示）；
若刚开始骑行时，油漆印离地面0.6米，在前行的过程中油漆印离地而的高度h（单位：
米）与时间（单位：
秒）的函数关系式可以用来刻画，则__________．
四、解答题：
本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在三棱柱中，是边长为4的等边三角形，D是的中点，．
（1）求证：
平面；
（2）当三棱柱的体积最大时，求点C与平面的距离．
18．（12分）已知数列的前n项和为，且满足，其中．
（1）若，求；
（2）是否存在实数x，y使为等比数列？
若存在，求出；
若不存在，说明理由．
19．（12分）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
（1）若，求角A；
（2）若，求边长b．
20．（12分）为了庆祝建党100周年，某校高二年级将举行“学党史，忆先烈”党史知识竞赛，比赛以班为单位报名参赛（每班10人）．为了帮助同学们学习并掌握更多的党史知识，学校准备了党史知识题库供学生利用课余时间进行网上练习．
（1）经统计，高二年级有1000名学生参与网上答题（其中物理类和历史类学生比例为），其得分情况可分为“优秀”和“良好”两个等级，请补全下面的“列联表”，并判断是否有99%的把握认为学生的党史知识掌握情况与学生的选科类别有关系？
优秀
良好
总计
物理类
250
历史类
200
1000
（2）某班为了选出参赛队员，将报名的20名学生平均分为甲、乙两组，利用班会课进行了7轮班内选拔比赛（每轮比赛每组满分100分），采用茎叶图记录了甲、乙两组7轮比赛得分如下图所示．已知甲组得分的中位数与乙组得分的平均数相等．
（ⅰ）求x的值；
（ⅱ）根据甲乙两组的得分情况，应该选哪个组代表本班参加学校比赛？
并说明理由．
附：
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．（12分）设．
（1）当时，求证：
；
（2）证明：
对一切正整数n，都有．
22．（12分）已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点Q（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆于C、D两点（如图所示）．当切线与x轴垂直时，的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）（ⅰ）求的面积的最大值；
（ⅱ）求证：
为定值，并求出这个定值．
数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
D
B
8．【解析】：
如图，过点O作的垂线，垂足为C，交于点D，
则，记（为锐角），则，由条件得，
又，于是，所以，
故．
本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9
10
11
12
ACD
BCD
BD
BC
12．【解析】：
，，在同一个坐标系中作出函数，及的图象．由图可知，A错误，B正确，C正确．
又与关于直线对称，的图象关于直线对称，
但是由C知点A与点B不一定关于直线对称，故D错误．
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．314．2415．16．；
15．【解析】：
，当且仅当时取等号．
16．【解析】：
李华的时速为，车轮直径为米，周长为米，故滚动一周所用时间为秒，
即最小正周期为，于是，依题意知，，
又，所以，故．
17．【解析】：
（1）连接交于点E，由棱柱性质知E为的中点，连接，因D为的中点，故，而平面，平面，所以平面．4分
（2）当平面时，三棱柱的体积最大，此时、、两两垂直，
故如图建立直角坐标系，则，
．6分
设平面的法向量为，有，
令，得，所以，8分
于是点C与平面的距离．10分
18．【解析】：
（1）由题可知：
当时有：
，
当时，，
又满足上式，故．5分
（2）假设存在实数x，y满足题意，则当时，
由题可得：
和题设对比系数可得：
．7分
此时，
故存在使得是首项为4，公比为2的等比数列．9分
从而．
所以．12分
19．【解析】：
（1）由正弦定理可得：
或，2分
若，即，则，
综上：
．5分
（2）由题可得：
，所以①7分
又由，
由余弦定理可得：
②10分
解①②得：
或4，经检验，这两个值均满足题意．12分
20．【解析】：
（1）
150
300
60
40
100
20
190
400
．
故有90%的把握认为学生的党史知识掌握情况与学生的选科类别有关系．5分
（2）（ⅰ）甲组的中位数为89，于是，解得．7分
（ⅱ）甲组的平均数．8分
甲组的方差．9分
乙组的方差．10分
因为甲乙两组的平均数相等，乙组的方差更小，故乙组发挥更稳定，因此应该选乙组代表本班参加学校比赛．12分
21．【解析】：
（1），，故单调递增；
当时，，在单调递增，于是，证毕．5分
（2）由
（1）知当时，，取
有，9分
故
即待证不等式成立．12分
22．【解析】：
（1），于是有，又，
解得，所以椭圆E的标准方程为．3分
（2）（ⅰ）因Q在y轴左侧，故直线的斜率不会为零，设其方程为，
由直线与圆相切得，4分
由消去x得，5分
设，则，6分
所以，当且仅当，即时取等号．
故的面积的最大值为1．8分
（ⅱ）因点在椭圆E上，且在y轴左侧，故，，
由
（1），9分
故，10分
，11分
故为定值．12分
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