学年高中数学人教B版选修21章末综合测评2Word格式.docx

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4．已知抛物线C1：

y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是（　　）

A．x＝－B．x＝

C．x＝D．x＝－

【解析】　抛物线C1：

y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2（－y）2，即y2＝－x，其准线方程为x＝.

【答案】　C

5．已知点F，A分别为双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足·

＝0，则双曲线的离心率为（　　）

A.B．

C.D．

【解析】　∵·

＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－1－e＝0，∴e＝.

6．（2013·

全国卷Ⅰ）已知双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）

A．y＝±

xB．y＝±

x

C．y＝±

xD．y＝±

【解析】　由e＝，得＝，

∴c＝a，b＝＝a.

而－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±

x，

∴所求渐近线方程为y＝±

x.

7.如图1，已知F是椭圆＋＝1（a>

b>

0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（　　）

图1

C．D．

【解析】　因为PF⊥x轴，所以P.

又OP∥AB，所以＝，即b＝c.

于是b2＝c2，

即a2＝2c2，所以e＝＝.

【答案】　A

8．若点O和点F（－2,0）分别为双曲线－y2＝1（a>

0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·

的取值范围为（　　）

A．[3－2，＋∞）B．[3＋2，＋∞）

【解析】　因为双曲线左焦点的坐标为F（－2,0），

所以c＝2.

所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，

即4＝a2＋1，解得a＝.

设P（x，y），则·

＝x（x＋2）＋y2，

因为点P在双曲线－y2＝1上，

所以·

＝x2＋2x－1＝2－－1.

又因为点P在双曲线的右支上，所以x≥.

所以当x＝时，·

最小，且为3＋2，

即·

的取值范围是[3＋2，＋∞）．

9．已知定点A，B满足AB＝4，动点P满足PA－PB＝3，则PA的最小值是（　　）

C．D．5

【解析】　已知定点A，B满足AB＝4，动点P满足PA－PB＝3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝2.所以PA的最小值是点A到右顶点的距离，即为a＋c＝2＋＝，选C.

10．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则n＝（　　）

【解析】　依题意知，a＝，b＝，

∴c2＝a2－b2＝2－n，

又e＝，

∴＝＝，∴n＝.

11．已知直线y＝k（x＋2）与双曲线－＝1，有如下信息：

联立方程组消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：

（1）当A＝0时，该方程恒有一解；

（2）当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．（1,]B．[，＋∞）

C．（1,2]D．[2，＋∞）

【解析】　依题意可知直线恒过定点（－2,0），根据

（1）和

（2）可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点（－2,0）在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－，即0<

m≤4，又e＝＝，所以e≥.

12．已知点P为抛物线y2＝2px（p>

0）上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则点Q（　　）

A．位于原点的左侧B．与原点重合

C．位于原点的右侧D．以上均有可能

【解析】　设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B.如图，由抛物线的定义知PC＝PF，由切线性质知PA＝PB，于是AC＝BF.又AC＝DO，BF＝FQ，所以DO＝FQ，而DO＝FO，所以O，Q重合，故选B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上）

13．（2013·

江苏高考）双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．

【解析】　由双曲线方程可知a＝4，b＝3，

所以两条渐近线方程为y＝±

【答案】　y＝±

14．（2016·

东城高二检测）已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若F2A＋F2B＝12，则AB＝________.

15460058】

【解析】　由题意，知（AF1＋AF2）＋（BF1＋BF2）＝AB＋AF2＋BF2＝2a＋2a，又由a＝5，可得AB＋（BF2＋AF2）＝20，即AB＝8.

【答案】　8

15.如图2所示，已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，AK＝AF，则△AFK的面积为________．

图2

【解析】　由题意知抛物线的焦点为F（2,0），准线l为x＝－2，∴K（－2,0），设A（x0，y0）（y0＞0），∵过点A作AB⊥l于B，

∴B（－2，y0），∴AF＝AB＝x0－（－2）＝x0＋2，

BK2＝AK2－AB2，∴x0＝2，

∴y0＝4，即A（2,4），∴△AFK的面积为KF·

y0＝×

4×

4＝8.

16．设F为抛物线C：

y2＝4x的焦点，过点P（－1,0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ＝2，则直线l的斜率等于________．

【解析】　设直线l的方程为

y＝k（x＋1），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由联立得k2x2＋2（k2－2）x＋k2＝0，

∴x1＋x2＝－，

∴＝－＝－1＋，

＝，

即Q.

又FQ＝2，F（1,0），

∴2＋2＝4，解得k＝±

1.

【答案】　±

1

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程．

【解】　设椭圆的半焦距为c，依题意，

得a＝且e＝＝，

∴a＝，c＝，

从而b2＝a2－c2＝1，

因此所求椭圆的方程为＋y2＝1.

18．（本小题满分12分）已知F1，F2分别为椭圆＋＝1（0＜b＜10）的左、右焦点，P是椭圆上一点．

（1）求PF1·

PF2的最大值；

（2）若∠F1PF2＝60°

，且△F1PF2的面积为，求b的值．

【解】　

（1）PF1·

PF2≤2＝100（当且仅当PF1＝PF2时取等号），

∴PF1·

PF2的最大值为100.

（2）S△F1PF2＝PF1·

PF2sin60°

PF2＝，①

由题意知：

∴3PF1·

PF2＝400－4c2.②

由①②得c＝6，∴b＝8.

19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切．

（1）求圆C的方程；

（2）若椭圆＋＝1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？

若存在，请指出共有几个这样的点？

并说明理由．

【解】　

（1）依题意，设圆的方程为（x－a）2＋y2＝16（a>

0）．

∵圆与y轴相切，∴a＝4，

∴圆的方程为（x－4）2＋y2＝16.

（2）∵椭圆＋＝1的离心率为，

∴e＝＝＝，解得b2＝9.

∴c＝＝4，

∴F1（－4,0），F2（4,0），

∴F2（4,0）恰为圆心C，

（ⅰ）过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°

，符合题意；

（ⅱ）过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，

连接CP3，CP4，则∠F1P3F2＝∠F1P4F2＝90°

，符合题意．

综上，圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．

20．（本小题满分12分）（2016·

江南十校联考）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，－）．

（1）求双曲线的方程；

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：

·

＝0；

（3）求△F1MF2的面积．

【解】　

（1）∵e＝，

∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

∵过点P（4，－），

∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线方程为x2－y2＝6.

（2）法一　由

（1）可知，双曲线中a＝b＝，

∴c＝2，

∴F1（－2，0），F2（2，0），

∴kMF1＝，kMF2＝，

kMF1·

kMF2＝＝－.

∵点（3，m）在双曲线上，

∴9－m2＝6，m2＝3，

故kMF1·

kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.

∴·

＝0.

法二　∵＝（－2－3，－m），＝（2－3，－m），

＝（3＋2）×

（3－2）＋m2＝－3＋m2，

∵M点在双曲线上，

∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

（3）△F1MF2的底边|F1F2|＝4，

△F1MF2的高h＝|m|＝，

∴S△F1MF2＝6.

21．（本小题满分12分）（2013·

北京高考）已知A，B，C是椭圆W：

＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．

（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

【解】　

（1）椭圆W：

＋y2＝1的右顶点B的坐标为（2,0）．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A（1，m），代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±

.

所以菱形OABC的面积是

|OB|·

|AC|＝×

2×

2|m|＝.

（2）四边形OABC不可能为菱形．理由如下：

假设四边形OABC为菱形．

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m（k≠0，m≠0）．

由消去y并整理得

（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设A（x1，y1），C（x2，y2），

则＝－，

＝k·

＋m＝.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－.

因为k·

≠－1，

所以AC与OB不垂直．

所以OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

22．（本小题满分12分）已知椭圆C：

＋＝1（a>

0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：