《数学周报》试题及答案.docx
《《数学周报》试题及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《数学周报》试题及答案.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![《数学周报》试题及答案.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/12/aae936e1-1c04-4a23-89bc-ba6690746f31/aae936e1-1c04-4a23-89bc-ba6690746f311.gif)
《数学周报》试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案
题号
一
二
三
总分
1~5
6~10
11
12
13
14
得分
评卷人
复查人
答题时注意:
1.用圆珠笔或钢笔作答.
2.解答书写时不要超过装订线.
3.草稿纸不上交.
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)
1.已知实数满足,则的值为().
(A)7(B)(C)(D)5
【答】(A)
解:
因为,≥0,由已知条件得
,,
所以7.
另解:
由已知得:
,显然,以为根的一元二次方程为,所以
故=
2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是().
(A)(B)(C)(D)
【答】(C)
解:
基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数.由题意知
=>0,即>4.
通过枚举知,满足条件的有17对.故.
3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有().
(A)6条(B)8条(C)10条(D)12条
(第3题)
【答】(B)
解:
如图,大圆周上有4个不同的点A,B,C,D,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E,F中,至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,则它与A,B,C,D的连线中,至少有两条不同于A,B,C,D的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.
当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线.
所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.
(第4题)
4.已知是半径为1的圆的一条弦,且.以为一边在圆内作正△,点为圆上不同于点A的一点,且,的延长线交圆于点,则的长为().
(A)(B)1(C)(D)a
【答】(B)
解:
如图,连接OE,OA,OB.设,则
.
又因为,
所以≌,于是.
另解:
如图,作直径EF,连结AF,以点B为圆心,AB为半径
作⊙B,因为AB=BC=BD,则点A,C,D都在⊙B上,
由
所以
5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有().
(A)2种(B)3种(C)4种(D)5种
【答】(D)
解:
设是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.
首先,对于,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.
又如果(1≤i≤3)是偶数,是奇数,则是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.
所以只能是:
偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:
2,1,3,4,5;2,3,5,4,1;2,5,1,4,3;
4,3,1,2,5;4,5,3,2,1.
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:
.若关于x的方程有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是.
【答】,或.
解:
由,得,
依题意有
解得,,或.
7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是分钟.
【答】4.
解:
设18路公交车的速度是米/分,小王行走的速度是米/分,同向行驶的相邻两车的间距为米.
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则.①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则. ②
(第8题5数,段成比例,所以____________________________________________________________________________________________________________________)
由①,②可得,所以.
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.
8.如图,在△中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,
AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为.
(第8题答案5数,段成比例,所以____________________________________________________________________________________________________________________)
【答】9.
解:
如图,设点N是AC的中点,连接MN,则MN∥AB.
又,所以,
所以.
因此9.
另解:
如图,过点C作AD的平行线交BA的延长线为E,延长MF交
AE于点N.
则
所以. 又,所以四边形是等腰梯形,
即
9.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,则DE的长为.
(第9题答案5数,段成比例,所以____________________________________________________________________________________________________________________)
【答】.
解:
如图,设△ABC的三边长为a,b,c,内切圆I的半径为r,
BC边上的高为,则
,
所以.
因为△ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,因此,
所以,
故.
另解:
=
(这里) 所以,
由△ADE∽△ABC,得 ,
即
10.关于x,y的方程的所有正整数解为.
【答】
解:
因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x,y都是偶数.
设,则
,
同上可知,a,b都是偶数.设,则
,
所以,c,d都是偶数.设,则
,
于是=,
其中s,t都是偶数.所以
≤.
所以可能为1,3,5,7,9,进而为337,329,313,289,257,故只能是=289,从而=7.于是
因此
另解:
因为 则有
又y正整数,所以
令
因为任何完全平方数的个位数为:
1,4,5,6,9
由知的个位数只能是1和1或6和6;
当的个位数是1和1时,则的个位数字可以为1或9
但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数,与的十位数字为3矛盾。
当的个位数是6和6时,则的个位数字可以为4或6。
由,取=106,114,116,124,126,134,136,144,146代入得,只有当=136时,=56,即 解得
三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)
11.在直角坐标系xOy中,一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于.
(1)用b表示k;
(2)求△OAB面积的最小值.
解:
(1)令,得;令,得.
所以A,B两点的坐标分别为,于是,△OAB的面积为
.
由题意,有 ,
解得,.………………5分
(2)由
(1)知
≥,
当且仅当时,有,即当,时,不等式中的等号成立.
所以,△ABC面积的最小值为.………………15分
12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程有有理数根?
解:
设方程有有理数根,则判别式为平方数.令,
其中n是一个非负整数.则.………………5分
由于1≤≤q+n,且与同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:
消去n,解得.………………10分
对于第1,3种情形,,从而q=5;对于第2,5种情形,,从而q=4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q是合数(不合题意,舍去).
又当,q=5时,方程为,它的根为,它们都是有理数.
综上所述,存在满足题设的质数………………15分
★12、已知为正整数,关于的方程的两个实数根为,
关于的方程的两个实数根为,且满足.
求的最小值.
另解:
由韦达定理,得 ;
即
解得:
把的值分别代入 得
或(不成立)
即,
因为 所以
于是有 即
因为a,b都是正整数,所以
分别解得:
经检验只有:
符合题意.
所以b的最小值为:
13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC?
证明你的结论.
解:
存在满足条件的三角形.
当△ABC的三边长分别为,,时,.………………5分
如图,当时,延长BA至点D,使.连接CD,则△为等腰三角形.因为为△的一个外角,所以.由已知,,所以
(第13(A)题答案5数,段成比例,所以____________________________________________________________________________________________________________________)
.所以△为等腰三角形.
又为△与△的一个公共角,有△∽△,于是
,即,
所以.
而,所以此三角形满足题设条件,
故存在满足条件的三角形.………………15分
说明:
满足条件的三角形是唯一的.
若,可得.有如下三种情形:
(i)当时,设,,(为大于1的正整数),
代入,得,解得,有,,;
(ⅱ)当时,设,,(为大于1的正整数),
代入,得,解得,有,,,此时不能构成三角形;
(ⅲ)当时,设,,(为大于1的正整数),
代入,得,即,此方程无整数解.
所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满足条件.
★13、如图,△ABC的三边长都是整数,且的最大公约数是2。
点G和点I分别为△ABC的重心和内心,且,求△ABC的周长.
另解:
如图,连结GA,GB,过G,I作直线交BC、AC于点E、F,作△ABC的内切圆I,切BC边于点D。
记△ABC的半周长为P,内切圆半径为r,BC,AC边上的高线长为
易知:
在中,
即
∴
又∵,所以CE=CF
由
得:
即
整理得 ,即
设△ABC的周长为,则为整数。
由已知,设,代入上式,得
∵,∴是12的约数,即=1,2,3,4,6,12
不妨设,则,得
经检验,只有符合题意,
所以:
或,即所求△ABC的周长为35。
14.从1,2,…,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值.
解:
当n=4时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除.……………5分
当n=5时,设是1,2,…,9中的5个不同的数.若其中任意若干个数,它们的和都不能被10整除,则中不可能同时出现1和9;2和8;3和7;4和6.于是中必定有一个数是5.
若中含1,则不含9.于是不含4(4+1+5=10),故含6;于是不含3(3+6+1=10),故含7;于是不含2(2+1+7=10),故含8.但是5+7+8=20是10的倍数,矛盾.
若中含9,则不含1.于是不含6(6+9+5=20),故含4;于是不含7(7+4+9=20),故含3;于是不含8(8+9+3=10),故含2.但是5+3+2=10是10的倍数,矛盾.
综上所