勾股定理经典例题教师版Word下载.docx

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5.勾股数

　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；

；

等

③用含字母的代数式表示组勾股数：

　（为正整数）；

　　（为正整数）（，为正整数）７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

6、互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

类型一：

勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6，c=10，求b，

（2）已知a=40，b=9，求c；

（3）已知c=25，b=15，求a.

思路点拨:

写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

举一反三

【变式】:

如图∠B=∠ACD=90°

AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

【答案】∵∠ACD=90°

AD=13,CD=12

∴AC2=AD2－CD2

=132－122

=25

∴AC=5

又∵∠ABC=90°

且BC=3

∴由勾股定理可得

AB2=AC2－BC2

=52－32

=16

∴AB=4

∴AB的长是4.

类型二：

勾股定理的构造应用

2、如图，已知：

在中，，，.求：

BC的长.

思路点拨：

由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有

，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

解析：

作于D，则因，

∴（的两个锐角互余）

∴（在中，如果一个锐角等于，

那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

根据勾股定理，在中，

.

∴.

举一反三【变式1】如图，已知：

，，于P.求证：

.

连结BM，根据勾股定理，在中，

而在中，则根据勾股定理有

∴

又∵（已知），

∴.

在中，根据勾股定理有

，

【变式2】已知：

如图，∠B=∠D=90°

，∠A=60°

，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°

，∠B=90°

，∴∠E=30°

。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·

BE-CD·

DE=

类型三：

勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°

方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°

方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

（1）过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°

+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形

由已知可得：

BC=500m，AB=

由勾股定理可得：

所以

（2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m

∴∠CAB=30°

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°

的方向

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．

解：

OC＝1米（大门宽度一半），

OD＝0.8米（卡车宽度一半）

在Rt△OCD中，由勾股定理得：

CD＝＝＝０.６米，

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

解答本题的思路是：

最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．

设正方形的边长为1，则图

（1）、图

（2）中的总线路长分别为

AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3

图（3）中，在Rt△ABC中

同理

∴图（3）中的路线长为

图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH

由∠FBH＝及勾股定理得：

EA＝ED＝FB＝FC＝

∴EF＝1－2FH＝1－

∴此图中总线路的长为4EA+EF＝

3＞2.828>

2.732

∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得

（提问：

勾股定理）

∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

答：

最短路程约为１０．７７cm．

类型四：

利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。

由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：

如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；

（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。

斜边为；

（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是

、、、。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

可以把看作是直角三角形的斜边，，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

类型五：

逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：

猫有四只脚．（正确）

2．原命题：

对顶角相等（正确）

3．原命题：

线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

4．原命题：

角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

掌握原命题与逆命题的关系。

1.逆命题：

有四只脚的是猫（不正确）

2.逆命题：

相等的角是对顶角（不正确）

3.逆命题：

到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）

4.逆命题：

到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）

总结升华：

本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。

∵（a-3）2≥0,（b-4）2≥0,（c-5）2≥0。

∴a=3，b=4，c=5。

∵32+42=52,

∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°

，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【答案】：

连结AC

∵∠B=90°

，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°

（勾股定理逆定理）

【变式2】已知:

△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.

分析:

本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:

a2+b2=c2即可

证明：

所以△ABC是直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?

请说明。

【答案】答：

DE⊥EF。

设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,

∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF（如图）

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,

∴FE⊥DE。

经典例题精析

勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：

4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

在直角三角形中知