初中数学平面几何题20道学习辅助线的添加Word文档下载推荐.docx
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=MP'
/A'
即A'
/AM
所以:
AC/AB=MP'
由三角形MP'
P相似三角形ANP得:
MP'
/AN=MP/PN
而AN=AM
/AM=MP/PN
AC/AB=MP/PN
1题图2题图
2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边
过点A作CD的平行线交BE的延长线于F点。
则∠BDC=∠F=∠BCD=∠A,即∠A=∠F.
又因为:
四边形AFDC是梯形
AC=DF=FE+DE
而AC=BD+DE
BD=FE
AD=AE,∠BDA=∠FEA
三角形ABD和三角形AFE全等
∠B=∠F
∠B=∠BCD=∠BDC=60°
三角形BCD是等边三角形。
3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内(含相切),A为60度,AC为8,AB为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E,X的范围是?
解:
如图,当元O与三角形ABC三条边都相切时,x的值最大。
此时:
过B作BD垂直AC,则可求得BD=5(√3),DC=3
根据勾股定理求得BC=2(√21)
设元O与边AB,BC,CA的切点分别为E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组:
x+y=10,x+z=8,y+z=2(√21),
解这个方程组得:
x=9-(√21)
因此:
x的范围是(0,9-√21]
4、已知三角形ABE中C、D分别为AB、BE上的点,且AD=AE,三角形BCD为等边三角形,求证BC+DE=AC
证明:
过D点作BE的垂线DF,交AB于F点,过A点作BE的垂线AH,H是垂足,再过F点作AH的垂线FG,G是垂足。
则:
四边形DHGF是矩形,有FG=DH.
而由△ADE是等腰三角形得知DH=HE,
FG=(1/2)DE.
又由于角B=60°
,
∠BAH=30°
FG=(1/2)AF
AF=DE
而在直角△BDF中,由于∠B=∠BDC=60°
∠CDF=∠CFD=30°
CF=CD=BC
BC+DE=CF+AF
即:
BC+DE=AC
5、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF
如图,连接EC,取EC的中点G,AE的中点H,连接DG,HG
GH=DG
角1=∠2,
而∠1=∠4,∠2=∠3=∠5
所以;
∠4=∠5
AF=EF.
6、在△ABC中,D是BC边中点,O是AD上一点,BO,CO的延长线分别交AC,AB于E,F
求证:
EF平行BC。
分别过B,C两点作AD的平行线分别交CF,BE的延长线于M,N两点。
四边形MBCN是平行四边形。
由MB‖AO‖CN,得:
OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.(相似三角形对应边成比例)
而BM=CN
OF/FM=OE/EN
MN‖EF
而MN‖BC
EF‖BC.
7、已知:
在△ABC和△A'
B'
C'
中,AB=A'
AC=A'
.AD,A'
D'
分别是△ABC和△A'
的中线,且AD=A'
.
△ABC≌△A'
分别过B,B'
点作BE‖AC,B'
E'
‖A'
.交AD,A'
的延长线于E,E'
点。
△ADC≌△EDB,△A'
≌△E'
AC=EB,A'
=E'
;
AD=DE,A'
=D'
BE=B'
AE=A'
△ABE≌△A'
角E=∠E'
角BAD=角B'
角BAC=角B'
8、四边形ABCD为菱形,E,F为AB,BC的中点,EP⊥CD,∠BAD=110º
,求∠FPC的度数
连接BD,交AC于O点,过A作CD的垂线,垂足为G,过O作BC的平行线交CD于H.
因为:
角DAB=110°
,∠GAB=90°
∠DAG=20°
。
由∠AOD=∠AGD=90°
知AOGD四点共元,所以∠DOG=∠DAG=20°
由OH‖BC‖AD知:
∠HOC=∠DAC=(1/2)∠BAD=55°
∠GOH=90°
-20°
-55°
=15°
而:
∠OHG=∠BCD=110°
∠OGH=180°
-15°
-110°
=55°
由于:
不难证明∠FPC=∠OGH(过程略)
∠FPC=55°
9、已知:
E是正方形ABCD内的一点,且∠DAE=∠ADE=15°
△EBC是等边三角形
过E点作AB的平行线EP,交BC于P点,交AD于Q点,以D为角顶点,DA为角的一边,向正方形ABCD内作∠ADF=30°
,角的一边交EP于F点。
设DQ=√3,则:
FQ=1,DF=2,AD=2√3,PC=PB=AQ=√3,
由角平分线定理得:
QE/EF=QD/DF,
QE/(1-QE)=(√3)/2
解得:
QE=2(√3)-3
PE=PQ-QE=2(√3)-[2(√3)-3]=3
在△EPC中由勾股定理得:
EC=√(PE²
+PC²
)=2√3
BE=CE
所以:
BC=BE=CE=2√3
△EBC是等边三角形。
10、在三角形ABC中,经过BC的中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB,AC分别交于D、E,求证,BD+CE>DE
如图,延长EM到E'
使E'
M=ME,则:
DE=DE'
由△BE'
M≌△CEM得:
CE=BE'
在△BE'
D中,有BD+BE'
>
DE'
等量代换得:
BD+CE>
DE
11、AB是等腰直角三角形ABC的斜边,若点M在边AC上,点N在边BC上,沿直线MN把△MCN翻折,使点C落在AB上设其落点
(1).如图一,当是AB的中点时,求证:
PA/PB=CM/CN
(2).如图二当P不是AB中点时,结论PA/PB=CM/CN是否成立?
若成立,请给出证明
(1)、证明:
因为P是AB中点,
AP/PB=1,
P点是C点沿直线MN折叠的落点,
MN垂直平分PC,
CM=MP,
由AP=BP得∠ACP=∠BCP=45°
CM=MN
CM/CN=1
(2)、结论仍然成立。
过P点分别作AC,BC的垂线PE,PD.E,D是垂足。
过C作CF垂直AB,F是垂足。
S△APC=(1/2)AC*PE=(1/2)AP*CF
S△BPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF
而AC=BC
PE/PD=AP/BP
由∠MCN=∠MPN=90°
知MCNP四点共元
∠PME=∠PND
RT△PEM∽RT△PDN
PE/PD=PM/PN
而PM=MC,PN=NC
PE/PD=MC/NC
AP/BP=MC/NC
12、三角形ABC中,BC=5,M和I分别是三角形ABC的重心和内心,若MI平行于BC,则AB+AC的值是多少?
设内心到三边的距离为r,BC边上的高为AE=h,
如图。
因为MI‖BC,AM=2MD
h=3r
S△ABC=(1/2)BC*h=(5/2)h=(15/2)r
S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACE=(1/2))r(AB+AC+5)
(15/2)r=(1/2))r(AB+AC+5)
AB+AC=10
13、已知圆O是三角形ABC的外接圆CD是AB边上的高,AE是圆O的直径。
AC*BC=AE*CD
以E为圆心,以BC长为半径画弧交元O于F点。
连接EF,FA.则:
EF=BC,∠AFE=90°
∠EAF=∠DAC(弦相等,弦所对的圆周角相等)
RT△ADC∽RT△EFA
AC/AE=CD/EF即AC*EF=AE*CD
EF=BC
14、已知:
D.E位△ABC内的两点
AB+AC>
BD+DE+EC
设直线DE交AB于F,交AC于G,则:
在△AFG中,有AF+AG>
FD+DE+EG
在△BFD中,有BF+FD>
BD
在△EGC中,有EG+GC>
EC
三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GC>
FD+DE+EG+BD+EC
DE+BD+EC
15、在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?
BC边上的中线是否一定过点O?
为什么?
答:
BO=2DO,BC边上的中线过O点。
连接AO,设M,N分别是BO,CO的中点,连接EM,DN,则:
EM平行并等于AO的一半,DN平行并等于AO的一半
EM平行并等于DN
四边形EMND是平行四边形
MO=OD
BM=MO=OD
BO=2DO
延长AO交BC于G,延长DN交BC于H,延长EM交BC于Q,则:
由AG‖EQ‖DH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC
BG=GC
BC边上的中线过O点。
16、在△ABC中,AB,BE是△ABC的高,交于点H,边BC,AC的垂直平分线FO,GO相交于点O
OF=1/2AH,OG=1/2BH
连接CO并延长交△ABC的外接圆于M点。
OC是元的直径。
OF=(1/2)BM,
∠MBC=∠MAC=∠ADB=∠BEA=90°
BM‖AD,AM‖BE
四边形MBHA是平行四边形
BM=AH
OF=(1/2)AH.
同理可证:
OG=(1/2)BH.
17、三角形中线分别为91215求三角形面积
过F点作AE的平行线,交DC于H点,
FH=(1/2)AM=5,MH=3,(三角形中位线定理,三中线交点分中线性质)
MF=4
三角形FMH是直角三角形,即BM⊥DC.
S△BCD=(1/2)*9*8=36,
S△ADC=S△BCD=36(同高等底的两个三角形面积相等)
S△ABC=72
18、在△ABC中∠A=90°
,AD⊥BC于D,M是AD的中点,延长BM交AC于E,过E作EF⊥BC于F。
EF²
=AE*CE
如图,延长BA,FE交于N.
AD‖FN
AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE
AM/NE=MD/EF
AM=DM
NE=EF
角NAC=∠NFC=90°
AFCN四点共圆
AE*EC=EF*EN
EF^2=AE*EC
19、已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点,DE延长线交AB延长线与F,求证S△ABE=S△CEF。
分别过C,