概率统计教案1Word格式文档下载.docx

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１．定义在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；

（２）掷一颗骰子，出现的点数；

（３）一天内进入某超市的顾客数；

（４）某种型号电视机的寿命；

（５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。

随机现象到处可见。

２．特点：

结果不止一个；

哪一个结果出现事先不知道。

３．随机试验：

在相同条件下可以重复的随机现象。

二、样本空间

１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为

其中，表示基本结果，称为样本点。

２．离散样本空间和连续样本空间。

三、随机事件

1．定义随机现象的某些样本点组成的集合。

2．维恩图事件的集合表示。

3．例掷一颗骰子的样本空间为：

。

事件A=“出现1点”，它由的单个样本点“1”组成。

事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。

事件C=“出现的点数大于6”，中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不

可能事件。

四、随机变量

1．定义用来表示随机现象结果的变量。

2．例掷骰子，出现的点数是一个随机变量；

不合格产品数是一个随机变量，等等。

五、事件之间的关系

事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等，以及各种关系的维恩图表示。

六、事件运算

1．事件运算：

并、交、差、补。

2．事件的运算性质：

（1）交换律：

；

（2）结合律：

（3）分配律：

（4）对偶律（德莫根公式）：

。

证明略。

七、事件域

1．定义设为一样本空间，为的某些子集组成的集合，如果满足：

（1）

（2）若，则；

（3）若，则。

则称为一事件域或代数。

2．常见事件域

例常见事件域：

；

等。

3．波雷尔事件域：

1.2概率的定义及其确定方法

本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率方法、古典方法、几何方法及主观方法。

主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利用频率方法、古典方法、几何方法及主观方法计算事件的概率。

一、概率的公理化定义

1.定义设为一样本空间，为上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件，定义在上的一个实值函数P（A）满足：

（1）非负性公理：

（2）正则性公理：

（3）可列可加性公理：

若两两互不相容，有

则称P（A）为事件A的概率，称三元素为概率空间。

2.概率是关于事件的函数。

二、排列与组合公式

1.两大计数原理乘法原理，加法原理。

介绍略。

2.排列、组合的定义及计算公式

（1）排列

（2）重复排列

（3）组合

（4）重复组合

三、确定概率的频率方法

1.定义在n次独立重复试验中，记n（A）为事件A出现的次数，又称n（A）为事件A的频数，称

为事件A出现的频率。

2.基本思想在与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行的条件下，记事件A的频率为，随着n的增加，会稳定在一常数附近，这个频率的稳定值就是所求事件A的概率。

3.说明频率稳定性的例子

例投硬币n次，正、反面出现的概率分别为1/2;

等。

四、确定概率的古典方法

1.基本思想

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如n个；

（2）每个样本点发生的可能性相等；

（3）若事件A含有k个样本点，则A的概率为

2.例（抽样模型）一批产品共有N个，其中M个不合格品，N-M个合格品，从中抽取n个，求事件=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。

分析略。

解略。

例（彩票模型）在35选7的彩票中，即从01，02，35中不重复的开出7个基本号码和一个特殊号码。

求各等奖中奖的概率（附：

中奖规则）

分析略。

解略。

五、确定概率的几何方法

1.基本思想

（1）如果一个随机现象的样本空间充满某个区间，其度量可用表示；

（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的：

（3）若事件A为中的某个子区域，其度量为，则事件A的概率为

2.例（会面问题）甲、乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人20分钟，过时即可离去。

求两人能会面的概率。

六、确定概率的主观方法

1.定义统计界的贝叶斯学派认为：

一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性给出的个人信念。

这样给出的概率称为主观概率。

2.例：

气象预报中，“明天下雨的概率为90%”；

一个教师认为,“甲能考取大学的可能性为95%”。

1.3概率的性质

本节包括概率的可加性、单调性、一般加法公式和连续性等内容，主要介绍概率的性质及利用性质计算概率。

一、概率的可加性

1.有限可加性若有限个事件互不相容，则有

证明略。

2.对任一事件A，有：

3.例抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。

二、概率的单调性

1．若，则。

2．若，则。

3.对任意两个事件A，B，有

4.例口袋中有编号为的N个球，从中有放回地任取M次，求取出的M个球的最大号码为K的概率。

三、概率的加法公式

1．对任意两个事件A，B，有

对任意n个事件，有

分析略。

证略。

2.对任意两个事件A，B，有

例已知事件A，B，的概率为0.4，0.3，0.6，求。

四、概率的连续性

1．定义对中的任意单调不减的事件序列称可列并为的极限事件，记为

对中的任意单调不增的事件序列，称为的极限事件，记为

对上的一个概率P，

（1）若它对中任一单调不减序列，均成立

，

则称概率P是下连续的。

（2）若它对中的任一单调不增序列均成立

则称概率P是上连续的。

2.概率的连续性：

若P是上的概率，则P既是下连续又是上连续的。

证明略。

3.定理若P是上满足=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是：

（1）它是有限可加的；

（2）它是下连续的。

证明略。

1.4条件概率

本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。

一、条件概率的定义

1.定义设A，B是样本空间中的两事件，若，则称

为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。

2.性质条件概率是概率，即若，则有

（1）

（2）

（3）若F中的，…两两互不相容，则

二、乘法公式

1.若，则

若

2.例（罐子模型）设罐子中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还加入c个同色球和d个异色球。

记为“第i次取出的是黑球”，为“第j次取出的是红球”。

求连续从罐中取出两个红球、一个黑球的概率。

解略。

注当c=-1,d=0时，为不返回抽样；

当c=0,d=0时，为返回抽样；

当c>

0,d=0时，为传染病模型；

当c=0,d>

0时，为安全模型。

三、全概率公式

１．全概率公式：

设为样本空间的一个分割，即两两互不相容，且，如果，则对任意事件Ａ，有

　　　　　　　　　　　。

２．例（摸彩模型）设在ｎ张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？

四、贝叶斯公式

１．贝叶斯公式设是样本空间的一个分割，即两两互不相容，且，如果，则

２．例某地区居民的肝癌发病率为0.0004，先用甲胎蛋白法进行普查。

医学研究表明，化验结果是存有错误的。

已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。

现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？

解答略。

小结条件概率的三大公式中，乘法公式是求交事件的概率，全概率公式是求一个复杂事件的概率，而贝叶斯公式是求一个条件概率。

1.5独立性

本节内容包括两个事件的独立性、多个事件的相互独立性和试验的独立性等。

主要介绍事件独立性的概念及有关独立性的概率的计算问题。

一、两个事件的独立性

定义如果对于事件Ａ，Ｂ，有

　　　　　　　　　　，

则称事件Ａ,Ｂ相互独立，简称Ａ与Ｂ独立，否则称Ａ与Ｂ不独立或相依。

二、多个事件的相互独立性

1．定义：

设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个事件，如果有

　　　　　　　　　，

则称Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立，若还有

　　　　　　　　　　　，

则称Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立。

2．定义：

设有ｎ个事件，对任意的，如果以下等式

均成立

　　　　　　　　，

　　　　　　　　，　

则称此ｎ个事件相互独立。

3．例设Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立，试证与Ｃ相互独立。

例有两名选手比赛射击，轮流对同一目标进行射击，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为。

甲先射，谁先命中谁得胜。

问甲、乙两人获胜的概率各为多少？

三、试验的独立性

1.定义设有两个试验和，假如试验的任意结果（事件）与试验的任意结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。

类似可定义“多个试验相互独立”的概念。

2.例某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的。

若你每周买一次彩票，尽管你坚持十年（每年52周）之久，你从未中奖的可能性是多少？

第二章随机变量及其分布

本章内容包括随机变量及其分布函数，离散随机变量及其概率分布列，连续随机变量及其概率密度函数，随机变量的数学期望、方差和标准差及其性质，切比雪夫不等式，常用离散随机变量的分布和连续随机变量的分布，随机变量函数的分布等。

随机变量及其分布是基础，随机变量的数字特征是分支，常