专题07 导数大题函数与导数高考理数热点题型追踪文档格式.docx
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(2)若函数有两个极值点,证明:
.
(2)依题意知是方程的两个根,
即,
可得.
所以.
欲证,只要证,
令,只要即可.
则,
再令,则.
可知:
在上递减,可知,即在上递增,
有,
综上可知:
.
3.隐零点问题
【例3】【2018河北衡水中学三轮训练】已知函数在处的切线方程为.
(1)求函数的单调区间;
(2)若为整数,当时,恒成立,求的最大值(其中为的导函数).
(2)法一:
由已知,及整理得
当时恒成立,学&
科网
令,
当时,;
由
(1)知在上为增函数,
又,
所以存在,使得,此时,
当时,,
所以,
故整数的最大值为.
法二:
由已知,及整理得,,
得,,
当时,因为,所以在上为减函数,
当时,为增函数,时,,
为减函数,∴,
由已知,
令在上为增函数.
又,故整数的最大值为.
4.不等式证明
【例4】【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数.
(1)若,证明:
当时,;
(2)若是的极大值点,求.
(ii)若,设函数.
由于当时,,故与符号相同.
又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
如果,则当,且时,,
故不是的极大值点.如果,则存在根,
故当,且时,,所以不是的极大值点.
如果,则.
则当时,;
当时,.
所以是的极大值点,从而是的极大值点,
综上,.
5.恒成立问题
【例5】【2017全国卷1】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求的取值范围.
(2)当时,恒成立,符合题意;
当时,,
故,即;
当时,
从而,故,所以.
综上所述,的取值范围为.学*科网
6.由函数零点或方程实根个数确定参数范围
【例6】【2018四川成都零诊模拟】已知.
(1)当时,求证:
;
(2)若有三个零点时,求的范围.
(2)由有三个零点可得
有三个零点,
①当时,恒成立,可得至多有一个零点,不符合题意;
②当时,恒成立,可得至多有一个零点,不符合题意;
③当时,记得两个零点为,不妨设,且,
时,;
时,
观察可得,且,
单调递增,
所以有,即,
时,单调递减,
时单调递减,
由
(1)知,,且,所以在上有一个零点,
由,且,所以在上有一个零点,
综上可知有三个零点,
即有三个零点,
所求的取值范围是.
1.确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x);
(3)解不等式f′(x)>
0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<
0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理:
y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
3.含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能:
①方程f′(x)=0是否有根;
②若f′(x)=0有根,求出根后判断其是否在定义域内;
③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法.
4.用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤:
第一步:
(求导数)求函数f(x)的导数f′(x);
第二步:
(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
第三步:
(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值;
第四步:
(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值;
第五步:
(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.
5.利用导数解不等式的思路
已知一个含f′(x)的不等式,可得到和f(x)有关的函数的单调性,然后可利用函数单调性解不等式.
6.利用导数证明不等式的方法
证明f(x)<
g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F′(x)<
0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)≤0,由减函数的定义可知,x∈(a,b)时,有F(x)<
0,即证明了f(x)<
g(x).
7.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略
①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围.学*科网
②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
8.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
若函数在开区间内只有一个极值点,那么该极值点就是最值点.
(4)回归实际问题作答.
9.极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性.
已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点,我们称这种状态为极值点不偏移;
若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”.
极值点偏左:
,处切线与x轴不平行;
若上凸(递减),则,若下凸(递增),则.
极值点偏右:
10.若是函数的两个零点,而是函数的极值点,证明(或),根据函数单调性求解的步骤是:
一、构建函数,二、判断函数的单调性,三、证明(或)即(或),四、由函数的单调性证(或).根据对数平均不等式求解的步骤是:
一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出,二、通过等式两边同除以构建对数平均数,三、利用对数平均不等式将转化为后再证明(或).学科@网
1.【2018山东、湖北部分重点中学二模】已知函数.
(1)若函数为单调函数,求的取值范围;
(2)当时,证明:
2.【2018山东省潍坊三模】已知
(1)求的单调区间;
(2)设为函数的两个零点,求证:
..
3.【2018山东省肥城模拟】已知函数.
(1)当时,若关于的不等式恒成立,求的取值范围;
.
4.【2018安徽省六安模拟】已知函数(为实常数).
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
5.【2018新课标I卷理】已知函数.
(2)若存在两个极值点,证明:
1.【解析】
(1),
为单调函数等价为恒成立或恒成立,
令得,
所以在单调递减,在单调递增,
又,学科&
网
(2)令,
(i)当时,,
所以.
因为,所以即;
因为,可知函数在处取最小值即,即.
由不等式的性质得,
(ii)当时,,
因为,所以,即,
即.
易知,所以.
由(i)(ii)得.学科*网
(2)由
(1)知的单调递增区间为,单调递减区间为,
不妨设,由条件知,即
构造函数与图象两交点的横坐标为
由可得.
而,∴.
知在区间上单调递减,在区间上单调递增,
可知
欲证,只需证,即证,
考虑到在上递增,只需证
由知,只需证
令,
则
所以为增函数,又,
结合知,即成立,
即成立.
(2)由
(1),当时,有,即.
要证,可证,
即证.
构造函数.
则.
∵当时,.∴在上单调递增.
∴在上成立,即,证得.
∴当时,成立.
则.
∵当时,,∴在上单调递减.
∴,即.
综上,当时,有.
5.【解析】
(1)的定义域为.
(i)若,则,当且仅当时,所以在上单调递减.
(ii)若,令得,或.
学科.网
当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.
(2)由
(1)知,存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.由于
所以等价于.
设函数,由
(1)知,在单调递减,又,从而当时,.
所以,即.