离散数学课本知识题Word格式.docx
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d）
e）
{a,b}{a,b,c,{a,b,c}}
f）
g）
{a,b}{a,b,{a,b}}
h）
6、
设A、B和C为集合。
证明或用反例推翻以下的各个命题：
若AB且BC,则ACo
7、
若A、B为集合,则AB与AB能同时成立吗？
请证明你的结论o
8、
列举出下列集合中每个集合的所有子集：
{1,2,3}
{1,{2,3}}
{{1,{2,3}}}
e）{,{}}
f）{{1，2}，{2，1，1}，{2，1，1，2}}
g）{{，2}，{2}}
9、给出下列集合的幂集：
a）{a，{b}}
b）{1，}
c）{x,y,z}
d）{，a,{a}}
e）（{}）
10、设（A）=（B）。
证明A=B。
习题1.2
1.设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。
试求下列集合：
a）A~B；
b）（AB）~C；
c）~（AB）；
d）~A~B；
e）（A-B）-C;
f）A-（B-C）；
g）（AB）C；
h）（AB）（BC）
2.设A={n|nI+且n<
12},B={n|nI+且n8},C={2n|nI+},D={3n|nI+}且
E={2n-1|nI+}试用A,B,C,D和E表达下列集合：
a）{2，4，6，8}；
b）{3，6，9}；
c）{10}；
d）{n|n为偶数且n>
10}；
e）{n|n为正偶数且n10，或n为奇数且n9}。
3.证明：
4.
证明
如果AB且CD，则A
A（B-A）=
A（B-A）=AB;
A-（BC）=（A
A-（A-B）=A
A-（B-C）=（A-B）
A=B当且仅当
B）
B;
（A
C）。
AB=;
CBD且ACBD；
（A-C）;
A
B=B
A;
C=A
（B
C）;
C）=（A
（AC）;
C）
A=（B
A）
（CA）。
判断
一下结论是否成立，
如果或成立，
就给予证明，如果不成立，
就用文氏图加以说明。
a）若ACBC且ACBC，
则AB;
b）若AB=AC且AB=AC，贝UB=C;
c）若AB=AC，则B=C;
d）若AB=AC，则B=C;
e）AB=AC,贝UB=C;
f）若ABC，贝UAB或AC;
g）若BCA，贝UBA或CA。
6.给出下列各式成立的充分必要条件,并加以证明。
（A-B）
（A-C）=A;
（A-C）=;
（A-C）=A;
AB=AB;
A-B=B;
i）
A-B=B-A;
j）
AB=A；
k）
（A）
（B）=（AB）;
7.设A,B为任意两个集合,证明
（B）（AB）;
（B）=（AB）。
8.试求出和,其中为：
a）{{}}；
9.
10.
11.
b）{,{}}；
设Ro
设An
设Ax
{a|a
{x|x
{yly
1},
n},
x},
{a|aR且a（1】）},iI。
i
N，试求
An和An
xR。
试求JAx和什Axo
x1x1
RRo
12.
，我们称A和A分别为集合序列Ao,^,A2^|的上极
限和下极限，证明:
a）A为由一切属于无限多个A的元素组成的集合;
b）A为由一切属于"
几乎所有”的A的元素组成的集合。
习题1.3
1、用归纳法证明:
1
1?
2
2?
3
1n
;
n?
（n1）n1
b）2+22+23+-+2n=2n+1-2;
c）2n=2n;
d）3|n3+2n;
nn1n2n3
e）123+234+•••+n（n+1）（n+2）=-
f）任意三个相邻整数的立方和能被9整除;
g）11"
2+122n+1是133的倍数;
111l
h）右nI+贝H———in。
Ji<
2Un
2、设ao,ai,a2,…为由自然数组成的严格单调递增序列。
证明：
若nN,贝UnQn。
3、斐波那契（Fibonacci）数列定义为
Fo=0
Fi=1
Fn+1=Fn+Fn-1,n1+
若nI+，贝U-
站f
n
1■5
4、设n,mI+且n>
m。
假定有n个直立的大头针，甲、乙两人轮流把这些直立的大头针扳倒。
规定每人每次可扳倒1至m根，且扳倒最后一根直立的大头针者为获胜者。
试证明：
如果甲先扳且（m+n）不能整除n,则甲总能获胜。
5、证明以下的二重归纳原理的正确性：
设io,joN。
假定对任意自然数i为。
及j>
jo,皆有一个命题P（i,j）满足：
i）P（i0,j0）真；
ii）对任意自然数k>
i0及l>
j0,若P（k,l）真，贝UP（k+1,l）和P（k,l+1）皆真。
则对任意自然数i>
i0及jjP（i,j）皆真。
6、证明：
若nN，则nn。
7、证明：
若n,mN，则nm当且仅当nm。
8、证明：
若n,mN，则nm当且仅当n+m+。
9、证明：
若n,mN，贝Unvm当且仅当有xN使m=n+x+。
10、证明：
若nN,则不可能有mN使nvmvn+。
习题1.4
1、设A={0,1}，B={1,2}。
试确定下列集合：
a）AX{1}xB
b）A2xB
c）（BxA）2
2、证明或用反例推翻下列命题：
a）（AUB）X（CUD）=（AXC）U（BXD）
b）（AQB）x（CQD）=（AxC）Q（BxD）
c）（A－B）x（C－D）=（AxC）－（BxD）
d）（AB）x（CD）=（AxC）（BxD）
3、如果BUCA，则（AXB）—（CxD）=（A-C）x（B-D）。
这个命题对吗？
如果对，则给予
证明；
如果不对，则举出反例。
f）4、证明：
若xC且yC,贝U<
x,y>
（（C））。
5、证明：
aU<
a,b>
且bU<
。
6、把三元偶<
a,b,c>
定义为{{a},{a,b},{a,b,c}}合适吗？
说明理由。
7、为了给出序偶的另一定义，选取两个不同集合A和B（例如取A=,B={}）,并定义<
a,
b>
={{a,A},{b,B}}。
证明这个定义的合理性。
第二章二元关系
习题2.1
1、列出从A到B的关系R中的所有序偶。
a）A={0,1,2},B={0,2,4},R={<
x,y>
|x,yAQB}
b）A={1,2,3,4,5},B={1,2,3},R={<
|xA,yB且x=y2}
2、设Ri和R2都是从{1,2,3,4}到{2,3,4}的二元关系，并且
R1={<
1,2>
<
2,4>
3,3>
}
R2={<
1,3>
4,2>
求RiUR2,RiQR2,domRi,domR2,ranR1,ranR2,dom（R1UR2）和ran（R1UR2）。
3、设R和R2都是从集合A到集合B的二元关系。
dom（R1UR2）=domR1UdomR2
ran（R1QR2）ranR1QranR2
4、用L和D分别表示集合{1,2,3,6}上的普通的小于关系和整除关系，试列出L,D和LQD中的所有序偶。
5、给出满足下列要求的二元关系的实例：
a）既是自反的，又是反自反的；
b）既不是自反的，又不是反自反的；
c）既是对称的，又是反对称的；
d）既不是对称的，又不是反对称的。
6、试判断下面的论断正确与否。
若正确，请加以证明；
若不正确，请给出反例。
设R和S都是集合A上的二元关系。
若R和S都是自反的（反自反的，对称的，反对称的，或传递的），贝URQS,RUS,R—S,RS也是自反的（反自反的，对称的，反对称的，
或传递的）。
7、描述R上的下列二元关系S的性质：
a）S={<
|x,yR且x-y>
0}；
b）S={<
|x,yR,4整除|x—y|且|x—y|v10}；
c）S={<
|x,yR，x2=1且y>
0}；
d）S={<
|x,yR,4|x|<
1且|y|>
1}。
8、设n,m1+。
若集合A恰有n个元素，则在A上能有多少个不同的m元关系？
证明你的结论。
9、设和都是由从集合A到集合B的二元关系构成的集类,并且。
a
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