直线平面平行的判定及其性质12Word文件下载.docx

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D．a⊄α，b⊂α，a∥b

【解析】　A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；

B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；

C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；

D正确．

【答案】　D

教材整理2　平面与平面平行的判定定理

阅读教材P56～P57“例2”以上的内容，完成下列问题．

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α

判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（　　）

（2）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．（　　）

（3）平行于同一平面的两条直线平行．（　　）

（4）若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.（　　）

【解析】　

（1）错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行．

（2）正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面．

（3）错误．两条直线平行或相交或异面．

（4）错误．直线a∥β或直线a⊂β.

【答案】　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

[小组合作型]

直线与平面平行的判定

　已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图221）．求证：

PQ∥平面CBE.

图221

【精彩点拨】　在平面CBE中找一条直线与PQ平行，从而证明PQ∥平面CBE.

【自主解答】　作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，

则PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，

∴EP＝BQ.

又AB＝CD，∴PM綊QN，

∴四边形PMNQ是平行四边形，

∴PQ∥MN.

又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．

2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．

图222

[再练一题]

1．如图222，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：

SA∥平面MDB.

【证明】　连接AC交BD于点O，连接OM.

∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA，

∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，

∴SA∥平面MDB.

平面与平面平行的判定

　如图223，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．

图223

求证：

（1）E、F、B、D四点共面；

（2）平面MAN∥平面EFDB.

【精彩点拨】　

（1）欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．

（2）要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．

【自主解答】　

（1）连接B1D1，

∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，

∴EF∥B1D1.

而BD∥B1D1，∴BD∥EF.

∴E、F、B、D四点共面．

（2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.

又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.

∴MN∥平面EFDB.

连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.

∴MF∥AD，MF＝AD.

∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.

又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，

∴AM∥平面BDFE.

又∵AM∩MN＝M，

∴平面MAN∥平面EFDB.

1．要证明面面平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行，而要证明线面平行，还要通过证明线线平行，注意这三种平行之间的转化．

2．解决此类问题有时还需添加适当的辅助线（或辅助面）使问题能够顺利转化．

2．如图224所示，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．

图224

平面AFH∥平面PCE.

【证明】　因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC，

因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE.

又由已知得AE∥CF且AE＝CF，

所以四边形AECF为平行四边形，

所以AF∥CE，而CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，

所以AF∥平面PCE.

又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.

[探究共研型]

线面平行、面面平行的综合应用

探究1　如图225，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？

图225

【提示】　如图，连接SB，

∵E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1.

∴直线EG∥平面BDD1B1.

探究2　上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.

【提示】　连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1.

又EG∥平面BDD1B1，

且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

　已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？

证明你的结论，并说出点F的位置．

【精彩点拨】　解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．

【自主解答】　如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.

∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

∴BG∥平面AEC.

同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.

∴平面BGF∥平面AEC.∴BF∥平面AEC.

∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．

又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．

而GF∥CE，∴F为PC中点．

综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.

解决线线平行与面面平行的综合问题的策略

1．立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．

2.

所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．

3.如图226，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．

图226

证明：

直线MN∥平面OCD.

【证明】　如图，取OB中点E，连接ME，NE，则ME∥AB.

又∵AB∥CD，

∴ME∥CD.

又∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，

∴ME∥平面OCD.

又∵NE∥OC，且NE⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，

∴NE∥平面OCD.

又∵ME∩NE＝E，且ME，NE⊂平面MNE，

∴平面MNE∥平面OCD.

∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.

1．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（　　）

A．不可能作出　　　　B．只能作出一个

C．能作出无数个D．上述三种情况都存在

【解析】　设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；

若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；

若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行．

2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是（　　）

A．相交B．平行

C．异面D．相交或平行

B　[如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.]

3．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．

①⇒a∥b；

②⇒a∥b；

③⇒α∥β；

④⇒α∥β；

⑤⇒a∥α；

⑥⇒a∥α，

其中正确的命题是________．（填序号）

【解析】　①是平行公理，正确；

②中a，b还可能异面或相交；

③中α、β还可能相交；

④是平面平行的传递性，正确；

⑤还有可能a⊂α；

⑥也是忽略了a⊂α的情形．

【答案】　①④

4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.

【解析】　因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.

【答案】　CD∥α

5．如图227，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：

平面GFE∥平面PCB.

图227

【证明】　因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.

因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂面PCB.

所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.

又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.