经典课件版高考数学大一轮复习第五章平面向量第31讲平面向量的综合应用学案理Word格式.docx

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∴·

＝12－12＝0，

∴⊥，∴△ABC为直角三角形.

答案　直角三角形

4.在四边形ABCD中，＝（1，2），＝（－4，2），则该四边形的面积为________.

解析　·

＝（1，2）·

（－4，2）＝0，则⊥，故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝||||＝×

×

2＝5.

答案　5

5.（2018·

苏州调研）在梯形ABCD中，＝2，||＝6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足＋＋4＝0，·

＝||||，Q为边AD上的一个动点，则||的最小值为________.

解析　设AB中点为E，则四边形BCDE为平行四边形，且＋＝2，所以＝2，D，E，P三点共线，||＝6，||＝2.又·

＝·

＝3·

＝3||||cos∠ADE＝||||，

所以cos∠ADE＝，sin∠ADE＝.

要使||最小，即PQ⊥AD.

此时||＝||sin∠ADE＝.

答案　

知识梳理

1.向量在平面几何中的应用

（1）用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型

所用知识

公式表示

线平行、点共线等问题

向量共线定理

a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，

其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），b≠0

垂直问题

数量积的运算性质

a⊥b⇔a·

b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，

其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a，b为非零向量

夹角问题

数量积的定义

cosθ＝（θ为向量a，b的夹角），其中a，b为非零向量

长度问题

|a|＝＝，其中a＝（x，y），a为非零向量

（2）用向量方法解决平面几何问题的步骤：

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.

2.平面向量在物理中的应用

（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.

（2）物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·

s＝|F||s|cosθ（θ为F与s的夹角）.

3.向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.

4.向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.

考点一　平面向量在平面几何中的应用

【例1】

（1）在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°

，E为CD的中点.若·

＝1，则AB的长为________.

（2）（2017·

苏、锡、常、镇调研

（二））在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△PBC面积的最小值为________.

解析　

（1）由题意，可知＝＋，＝－＋.因为·

＝1，所以（＋）·

＝1，

即2＋·

－2＝1.①

因为||＝1，∠BAD＝60°

，所以·

＝||，

因此①式可化为1＋||－||2＝1，解得||＝0（舍去）或，所以AB的长为.

（2）以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则

P（1，4），C（t，0），B，BC：

＋ty＝1，x＋t2y－t＝0，

S△PBC＝×

＝|4t＋－1|≥|2－1|＝，△PBC面积的最小值为.

答案　

（1）　

（2）

规律方法　向量与平面几何综合问题的解法

（1）坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

（2）基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.

【训练1】

（1）在△ABC中，已知向量与满足·

＝0，且·

＝，则△ABC的形状为________三角形.

（2）在△ABC中，若·

，则点O是△ABC的________（从“重心”“垂心”“内心”“外心”中选填一个）.

解析　

（1），分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线.因为·

＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.

又·

·

cos∠BAC＝，

所以cos∠BAC＝，又0<

∠BAC<

π，故∠BAC＝，

所以△ABC为等边三角形.

（2）∵·

，

（－）＝0，

＝0，

∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线.

同理·

＝0，·

故O为△ABC的垂心.

答案　

（1）等边　

（2）垂心

考点二　向量在解析几何中的应用

【例2】

（1）（2018·

南京、盐城模拟）已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），且A，B，C三点共线，当k＜0时，若k为直线的斜率，则过点（2，－1）的直线方程为________.

（2）（2018·

江苏大联考）已知P为单位圆O上的点，M，N为圆x2＋y2＝16上两点，函数f（x）＝|－x|（x∈R），若函数f（x）的最小值为t，且当点P在单位圆上运动时，t的最大值为3，则线段MN的长度为________.

解析　

（1）∵＝－＝（4－k，－7），

＝－＝（6，k－5），且∥，

∴（4－k）（k－5）＋6×

7＝0，

解得k＝－2或k＝11.

由k＜0可知k＝－2，则过点（2，－1）且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0.

（2）f（x）＝，

t＝

＝＝＝dP－MN，

由题意得（dP－MN）max＝3，

因此dO－MN＝2，MN＝2＝4.

答案　

（1）2x＋y－3＝0　

（2）4

规律方法　向量在解析几何中的作用：

（1）载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；

（2）工具作用，利用a⊥b⇔a·

b＝0；

a∥b⇔a＝λb（b≠0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.

【训练2】

（1）（2018·

盐城模拟）如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（＋）·

的最小值为________.

（2）设O为坐标原点，C为圆（x－2）2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M（x，y）满足·

＝0，则＝________.

解析　

（1）∵圆心O是直径AB的中点，

∴＋＝2，

∴（＋）·

＝2·

∵与共线且方向相反，

∴当大小相等时，乘积最小.由条件知，

当PO＝PC＝时，最小值为－2×

＝－.

＝0，∴OM⊥CM，

∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，

由＝，得k＝±

即＝±

.

答案　

（1）－　

（2）±

考点三　向量的其他应用（多维探究）

命题角度1　向量在物理中的应用

【例3－1】如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°

角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________.

解析　如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－（F1＋F2），即F＝F＋F＋2F1·

F2＝F＋F＋2|F1|·

|F2|·

cos60°

＝28.故|F3|＝2.

答案　2

命题角度2　向量在不等式中的应用

【例3－2】已知x，y满足若＝（x，1），＝（2，y），且·

的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________.

解析　因为＝（x，1），＝（2，y），所以·

＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示（含边界），观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C（1，1）时，zmax＝2×

1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F（a，a）时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×

3a，解得a＝.

命题角度3　向量在解三角形中的应用

【例3－3】（2018·

苏北三市（连云港、徐州、宿迁）调研）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C＝，c＝2，当·

取得最大值时，的值为________.

解析　∵C＝.∴B＝π－A－C＝π－A－＝π－A，

由＝得b＝·

sinB＝·

sin

＝＝2cosA＋sinA；

＝bccosA＝×

2×

cosA

＝4cos2A＋sinAcosA＝4×

＋sin2A

＝2＋2cos2A＋sin2A

＝2＋

＝sin＋2.

∵A＋B＝π－c＝π，∴0<

A<

π，

∴当2A＋＝，即A＝时，·

取最大值＋2.

此时B＝π－A＝π，

∴此时＝＝＝＝2＋.

答案　2＋

规律方法　利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.

【训练3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于________.

解析　∵20a＋15b＋12c＝0，

∴20a（－）＋15b＋12c＝0，

∴（20a－15b）＋（12c－20a）＝0，

∵与不共线，

∴⇒

∴△ABC最小角为角A，

∴cosA＝

＝＝，

∴sinA＝.

一、必做题

1.（2018·

扬州中学质检）设O是△ABC的外心（三角形外接圆的圆心）.若＝＋，则∠BAC等于________（用角度表示）.

解析　取BC的中点D，连接AD，则＋＝2.由题意得3＝2，∴AD为BC的中线且O为重心.又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°

答案　60°

2.（2018·

南京师大附中模拟）在平面内，若A（1，7），B（5，1），M（2，1），点P是直线OM上的一个动点，且·

＝－8，则cos∠APB＝________.

解析　由题意可得直线OM的方程为y＝x，设P（2y，y），则＝（1－2y，7－y），＝（5－2y，1－y），所以·

＝（1－2y，7－y）·

（5－2y，1－y）＝5y2－20y＋12＝－8，解得y＝2，所以P（4，2），＝（－3，5），＝（1，－1），所以cos∠APB＝＝－＝－.

答案　－

3.（2018·

苏、锡、常、镇四市调研）在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f（x）＝（x>

0）的图象上任意一点，过M点向直线y