北京市朝阳区届高三年级学业水平等级性考试练习二二模数学试题Word格式.docx
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D．是偶函数，且在上是减函数
8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（）
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数．现有℃的物体，放在℃的空气中冷却，分钟以后物体的温度是℃，则约等于（参考数据：
）（）
10．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（）
二、填空题
11．若（），则_________．
12．若直线与圆相切，则_________．
13．已知正方形的边长为，若，则的值为_________．
14．对任意两实数，，定义运算“”：
给出下列三个结论：
①存在实数，，使得成立；
②函数的值域为；
③不等式的解集是．
其中正确结论的序号是_____________．
三、双空题
15．已知抛物线：
的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标是________，△（为坐标原点）的面积为_________．
四、解答题
16．如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，，，点为棱的中点．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知数列的前项和为，，．是否存在正整数（），使得成等比数列？
若存在，求出的值；
若不存在，说明理由．
从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
18．“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数：
日
时在园人数
通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人．
（Ⅰ）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？
（只需写出结论）
19．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，点在椭圆上，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：
，两点的横坐标之积等于，并求的取值范围．
20．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求证：
当时，．
21．已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，且满足，，，则称集合为“完美集合”．
（Ⅰ）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？
并说明理由；
（Ⅱ）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（Ⅲ）设集合，证明：
集合为“完美集合”的一个必要条件是或．
参考答案
1．D
【分析】
先解不等式求出集合A，再求补集即可.
【详解】
由得：
或，
所以或，
所以，
故选：
D
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，涉及解一元二次不等式，属于基础题.
2．B
直接利用正弦定理计算得到答案.
根据正弦定理：
，故，解得.
B.
本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
3．A
化简得到，利用周期公式得到答案.
，故周期.
A.
本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
4．C
利用双曲线的渐近线过点，可以求得的值，再利用即可求出离心率.
双曲线的一条渐近线为，
因为渐近线过点，所以，所以，
C
本题主要考查了求双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线方程，属于中档题.
5．B
由，得到.分别画出和的图象可知当时，函数和有一个交点.当时，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到零点个数，再综合和的情况即可得到函数的零点个数.
令，得：
，
分别画出和的图象，如图所示：
当时，函数和有一个交点.
当时，，
令，，，.
当，，为减函数，
当，，为增函数.
所以在为增函数，
又因为，所以，.
故在无零点.
综上：
函数的零点个数为.
B
本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.
6．A
根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案.
若，则，则若，则，故是充分条件；
若，取，则，故不是必要条件.
故“”是“”的充分而不必要条件.
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
7．C
利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.
是偶函数；
设，则在上单增，
又为增函数，所以在上单增，
是偶函数，且在上是增函数.
C.
本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：
（1）直接法，（正为偶函数，负为减函数）；
（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；
（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.
8．C
根据三视图可得直观图四棱锥，结合图形，即可得到最长的侧棱为，根据勾股定理即可求出的长．
根据三视图可得直观图四棱锥，如图：
底面是一个直角梯形，，，,,且
底面，所以，
∴该四棱锥最长侧棱长为.
故选:
本题考查三视图的问题，关键是画出直观图，结合图形即可得到答案，考查学生的直观想象和运算求解能力.
9．D
℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，由此能求出的值．
由题知，℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，
，得.
本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.
10．B
由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.
将月剩余的30天依次编号为1，2，330，
因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，
所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，
则李明去甲超市的天数编号为：
3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；
李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：
4、8、16、20、28，共5天；
李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；
李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：
7、14，共2天；
所以李明需要配送的天数为，
所以整个月李明不用去配送的天数是.
本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.
11．
由题意结合复数的乘法法则可得，由复数相等的条件即可得解.
由题意，
由可得，解得.
故答案为：
.
本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.
12．
由题意结合圆的方程可得该圆圆心为，半径为，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.
由题意圆的方程可转化为，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，解得.
本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.
13．
建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
如图所示建立平面直角坐标系：
则，
设，
因为，
解得，
本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．①③
由得，，
对于①，由得，，由绝对值三角不等式即可判断；
（另解：
举例说明，取；
）
对于②，，再根据辅助角公式和三角函数的性质即可判断；
对于③，由得，，解出即可判断．
解：
对于①，由得，，即，
由绝对值三角不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，
故①对；
取，则，则成立；
对于②，，
故②错；
对于③，由得，，即，
∴，解得，
故③对；
①③．
本题主要考查新定义问题，解题的关键在于理解新运算的含义，属于中档题．
15．
设出焦点坐标，根据抛物线定义即可求出点的横坐标，得到点坐标，继而可求△（为坐标原点）的面积.
因为，所以焦点，
设点，
所以根据抛物线的定义由：
又，
所以，解得：
即点的横坐标是.
又，所以，，
故△（为坐标原点）的面积为.
；
本题考查抛物线定义的应用，解题关键根据抛物线定义用抛物线上点的横坐标表示焦半径的长，属于基础题.
16．（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）．
（Ⅰ）由题意，利用平面与平面垂直的性质可得平面，得到平面，得，由是正方形，得，再由直线与平面垂直的判定可得平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．
（Ⅰ）证：
平面平面，平面平面，
平面，且，
平面，
在三棱柱中，有，
平面，得,
是正方形，
，而
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