福建龙岩一中模拟考试数学理含答案word版.docx
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福建龙岩一中模拟考试数学理含答案word版
龙岩一中2017届高三模拟考试
数学（理科）试题
考试时间：
120分钟满分150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题共60分）和第Ⅱ卷（非选择题共90分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式
P（A+B）＝P（A）+P（B）S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
P（A·B）＝P（A）·P（B）球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P.
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概其中R表示球的半径
率
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在复平面内，复数对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知，则是的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）
A.－B.7C.D.－7
4.已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（）
A.B.C.D.
5.已知函数的反函数为，且是奇函数，则（）
A.0B.1C.D.以上都不对
6.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，底面ABCDEF过球心，则此正六棱锥的体积为（）
A.2B.4
C.8D.12
7.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
8.若m、n是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题：
①若;
2007050701
②若;
③若m不垂直于内的无数条直线;
④若.
其中正确命题的序号是（）
A．①②B．③④C．②③D．②④
9.等比数列的首项，前项和为，若，则等于（）
A. B. C.2 D.－2
10.已知圆与直线仅有一个公共点，则直线的倾斜角为（）
A.B.C.D.
11.2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）
A.36种B.108种C.216种D.432种
12.已知函数和在的图象如下所示：
给出下列四个命题：
（1）方程;
（2）方程;;
（3）方程;（4）方程.
其中正确的命题个数（）
A．1B．2C．3D．4
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置上）
13．若则=____________.
14.已知的三个内角满足，则=______.
15.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.
16.符号表示不超过的最大整数，如，定义函数.那么下列命题中正确的序号是___________.
①函数的定义域为R，值域为.②方程有无数多个解.
③函数是周期函数.④函数是增函数.
三、解答题（本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若将函数按向量＝平移后得到函数，而且当时，取得最大值，求的值.
18.（本小题满分12分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分.现从盒内一次性取3个球.
（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅱ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
（Ⅰ）求证：
AB平面PCB；
（Ⅱ）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
20.（本小题满分12分）已知、是双曲线的左、右焦点，点是曲线上任意一点，且.
（）求曲线的方程；
（）过作一直线交曲线于、两点，若，求面积最大时直线的方程.
21.（本小题满分12分）设数列的前n项和为，已知，且.
（I）求数列的通项公式；
（II）设
的大小关系，并给出证明.
22.（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在单调递减区间，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，设函数的图象与函数的图象交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，则是否存在点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行？
如果存在，请求出R的横坐标，如果不存在，请说明理由.
龙岩一中2017届高三模拟考试
数学（理科）试题答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中）
1.A2.A3.C4.D5.B6.B7.C8.D9.B10.A11.C12.C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置上）
13.-414.15.216.②③
三、解答题（本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（I）解:
……………4分
∴函数的周期…………………………6分
（II）解:
依题意，…………………………8分
令，得…………12分
18．（Ⅰ）解：
记“取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件.则取出3个球得分之和恰为1分为事件A+B.
则…………………………5分
（Ⅱ）解：
可能的取值为.…………………………6分
，，
，.…………………………10分
的分布列为:
0
1
2
3
…………………………11分
的数学期望.…………………………12分
19.解法一：
（）∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．
∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．…………………………2分
又，∴AB平面PCB．………………………4分
（）过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．
则为异面直线PA与BC所成的角．………5分
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．
由三垂线定理，得PFAF．
则AF=CF=，PF=，
在中，tan∠PAF==，
∴异面直线PA与BC所成的角为．……………………………8分
（）取AP的中点E，连结CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CEPA，CE=．
∵CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA．
∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………10分
由（）AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在中，PB=，
．
在中，cos=．
∴二面角C-PA-B大小的余弦值为.…………………………12分
解法二：
（）同解法一．………4分
（）由（）AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．
以B为原点，如图建立坐标系．
则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，．…6分
则+0+0=2．
==．
∴异面直线AP与BC所成的角为．…………………………8分
（）设平面PAB的法向量为=（x，y，z）．
，，
则即
解得令=-1,得=（，0，-1）．…………………10分
设平面PAC的法向量为=（）．
，，
则即
解得令=1,得=（1，1，0）．
=．
∴二面角C-PA-B大小的余弦值为．……………………12分
20.解：
（）双曲线的左、右焦点分别是、
由得曲线是以、为焦点、长轴长为4的椭圆。
曲线的方程…………………………4分
（）由可知点是线段的中点，设其坐标为
若直线的斜率不存在，则直线的方程是,此时,点与重合.不能构成三角形.
若直线的斜率存在,设为,则直线的方程是
联立方程组得
将
（1）代入
（2）,整理得:
…………………………6分
设，由韦达定理可得
…………………………8分
21.证:
（I）∵∴………2分
∴ 又∵……………6分
（II）∵∴
∴
……………10分
…………………………12分
22．（）解：
当时，
则，
的定义域为，令＝0，得………2分
当时，，在上是单调递增；
当时，，在上是单调递减；
所以，函数的单调递增区间为；
单调递减区间为.…………………………4分
（II）b=2时，
则
因为函数存在单调递减区间，所以＜0有解.
即当x＞0时，则.…………………………5分
①当a＝0时，为单调递增的一次函数，＞0在（0，+∞）总有解.
②当a＞0时，为开口向上的抛物线，＞0在（0，+∞）总有解.
③当a＜0时,为开口向下的抛物线,而＞0在（0，+∞）总有解.
则△=4+4a＞0，且方程=0至少有一个正根，此时，－1＜a＜0
综上所述，a的取值范围为（－1，+∞）…………………………9分
（）证：
设点P、Q的坐标是
则点M、N的横坐标为
C1点在M处的切线斜率为
C2点N处的切线斜率为………………10分
假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2
即则
.
设，则①…………………………12分
令则
因为t>1时，，所以r（t）在上单调递增.故
则.这与①矛盾，假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.…………………………14分
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