届高考大一轮复习备考讲义全国用人教B版 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ24含答案Word文档格式.docx

届高考大一轮复习备考讲义全国用人教B版 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ24含答案Word文档格式.docx

《届高考大一轮复习备考讲义全国用人教B版 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ24含答案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考大一轮复习备考讲义全国用人教B版 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ24含答案Word文档格式.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

y＝

y＝x－1

定义域

R

[0，＋∞）

{x|x∈R，且x≠0}

值域

{y|y∈R，且y≠0}

奇偶性

奇

偶

非奇非偶

2.二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式：

一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

顶点式：

f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为（m，n）．

零点式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的零点．

（2）二次函数的图象和性质

解析式

f（x）＝ax2＋bx＋c（a>

0）

f（x）＝ax2＋bx＋c（a<

图象

（－∞，＋∞）

单调性

在x∈上单调递减；

在x∈上单调递增

在x∈上单调递增；

在x∈上单调递减

对称性

函数的图象关于x＝－对称

知识拓展

1．幂函数的图象和性质

（1）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．

（2）幂函数的图象过定点（1,1），如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

（3）当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞）上为增函数；

当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上为减函数．

2．若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当时恒有f（x）>

0，当时，恒有f（x）<

0.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）函数y＝2是幂函数．（　×

　）

（2）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（　√　）

（3）当n<

0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．（　×

（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.（　×

（5）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．（　×

（6）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（　√　）

题组二　教材改编

2．已知幂函数f（x）＝k·

xα的图象过点，则k＋α等于（　　）

A.B．1C.D．2

答案　C

解析　由幂函数的定义，知

∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.

3．已知函数f（x）＝x2＋4ax在区间（－∞，6）内单调递减，则a的取值范围是（　　）

A．a≥3B．a≤3

C．a＜－3D．a≤－3

答案　D

解析　函数f（x）＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间（－∞，6）内单调递减可知，区间（－∞，6）应在直线x＝－2a的左侧，

∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.

题组三　易错自纠

4．幂函数f（x）＝（a∈Z）为偶函数，且f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数，则a等于（　　）

A．3B．4C．5D．6

解析　因为a2－10a＋23＝（a－5）2－2，

f（x）＝（a∈Z）为偶函数，

且在区间（0，＋∞）上是减函数，

所以（a－5）2－2<

0，从而a＝4,5,6，

又（a－5）2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.

5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>

b>

c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是（　　）

解析　由a＋b＋c＝0和a>

c知，a>

0，c<

0，

由c<

0，排除A，B，又a>

0，排除C.

6．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．

答案　[1,2]

解析　如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．

题型一　幂函数的图象和性质

1．幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（　　）

A．偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数

B．偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数

C．奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数

D．非奇非偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数

解析　设幂函数的解析式为y＝xα，将（3，）代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝，故选D.

2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（　　）

A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞d

C．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c

答案　B

解析　由幂函数的图象可知，在（0,1）上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B.

3．若>

，则实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C．（－1,2）D.

解析　因为函数y＝的定义域为[0，＋∞），

且在定义域内为增函数，

所以不等式等价于

解2m＋1≥0，得m≥－；

解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥.

解2m＋1>

m2＋m－1，得－1<

m<

2，

综上所述，≤m<

2.

思维升华

（1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

（2）在区间（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

题型二　求二次函数的解析式

典例

（1）已知二次函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（0）＝3，对∀x∈R，都有f（1＋x）＝f（1－x）成立，则f（x）的解析式为________________．

答案　f（x）＝x2－2x＋3

解析　由f（0）＝3，得c＝3，

又f（1＋x）＝f（1－x），

∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴＝1，∴b＝2，

∴f（x）＝x2－2x＋3.

（2）已知二次函数f（x）与x轴的两个交点坐标为（0,0）和（－2,0）且有最小值－1，则f（x）＝________.

答案　x2＋2x

解析　设函数的解析式为f（x）＝ax（x＋2），

所以f（x）＝ax2＋2ax，由＝－1，

得a＝1，所以f（x）＝x2＋2x.

思维升华求二次函数解析式的方法

跟踪训练

（1）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，且a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝________.

（2）若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝________.

答案　

（1）x2＋2x＋1　

（2）－2x2＋4

解析　

（1）设函数f（x）的解析式为f（x）＝a（x＋1）2＝ax2＋2ax＋a，

由已知f（x）＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，

故f（x）＝x2＋2x＋1.

（2）由f（x）是偶函数知f（x）图象关于y轴对称，

∴－a＝－，即b＝－2，∴f（x）＝－2x2＋2a2，

又f（x）的值域为（－∞，4]，

∴2a2＝4，故f（x）＝－2x2＋4.

题型三　二次函数的图象和性质

命题点1　二次函数的图象

典例（2017·

郑州模拟）对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x在同一坐标系内的图象可能是（　　）

答案　A

解析　当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，y＝（a－1）x2－x开口向下，其对称轴为x＝＜0，排除C，D；

当a＞1时，y＝logax为增函数，y＝（a－1）x2－x开口向上，其对称轴为x＝＞0，排除B.故选A.

命题点2　二次函数的单调性

典例函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－3,0）B．（－∞，－3]

C．[－2,0]D．[－3,0]

解析　当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上递减，满足题意．

当a≠0时，f（x）的对称轴为x＝，

由f（x）在[－1，＋∞）上递减知

解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．

引申探究

若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调减区间是[－1，＋∞），则a＝________.

答案　－3

解析　由题意知f（x）必为二次函数且a<

又＝－1，∴a＝－3.

命题点3　二次函数的最值

典例已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．

解　f（x）＝a（x＋1）2＋1－a.

（1）当a＝0时，函数f（x）在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；

（2）当a＞0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f

（2）＝8a＋1＝4，解得a＝；

（3）当a＜0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f（－1）＝1－a＝4，解得a＝－3.

综上可知，a的值为或－3.

将本例改为：

求函数f（x）＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．

解　f（x）＝（x＋a）2＋1－a2，

∴f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.

（1）当－a＜即a＞－时，f（x）max＝f

（2）＝4a＋5，

（2）当－a≥即a≤－时，f（x）max＝f（－1）＝2－2a，

综上，f（x）max＝

命题点4　二次函数中的恒成立问题

典例

（1）已知函数f（x）＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f（x）>

2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．

答案　（－∞，－1）

解析　f（x）>

2x＋m等价于x2－x＋1>

2x＋m，即x2－3x＋1－m>

令g（x）＝x2－3x＋1－m，

要使g（x）＝x2－3x＋1－m>

0在[－1,1]上恒成立，

只需使函数g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，

∴g（x）min＝g

（1）＝－m－1.

由－m－1>

0，得m<

－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是（－∞，－1）．

（2）已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　2ax2＋2x－3<

0在[－1,1]上恒成立．

当x＝0时，－3<

0，成立；

当x≠0时，a<

2－，因为∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），当x＝1时，右边取最小值，∴a<

.

综上，实数a的取值范围是.

思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意

（1）抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；

（2）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函