Leslie人口模型Word格式文档下载.docx

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xksxkih

（1）（）,1,2,，,,（7）iii，1

记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为

T（8）Xkxkxkxk（）（（）,（）,,（））,129

XkLXk

（1）（），,综合上述（6）（7）（8）得:

其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为

bbbb,,1289,,s000,,1,,L,000s,,2,,0,,

,000s8,,

X（0）当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况:

kXkLXk（）（0）,0,1,2,,,（9）稳定状况分析:

01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足:

sbiii

b,0，且至少有一个xksxkih

（1）（）,1,2,，,,iiii，1

定理1:

L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为,,11

ssssssn*T11212,X（1,,,,）n2,,,111

k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足，,,,,1kk

定理2:

若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11k

Xk（）且由（8）式确定的满足

xk（）*bs，其中c是由，及X（0）决定的常数。

（10）,limcXiik,,k,1

k*,,由（10）式可知:

XkcX（），这表明当k充分大时女性人口总量趋向

*X于稳定，而且各年龄组的数量占总量的比例与特征向量中对应分量所占比例

**XX相同，也就是说表示了女性人口按照年龄组的分布状况，故可称为稳定

X（0）分布，它与初始分布无关。

XkXk

（1）（），,xkxk

（1）（），,,由上式可得:

，即，其个年龄组的数量都ii

是上一年龄组数量的倍，即人口数量的增长完全取决于L矩阵唯一的特征值。

,1,,1,,1显然有时，人口递增，，人口总量保持不变，时，人口递减。

对于该问题我们首先将女性人口年龄离散化，将0—89岁的女性人口按照

10年的间隔分为9个年龄段，将大于等于90岁的女性划分为一个年龄段。

b下面针对每一年中给出的表格数据计算某年的不同年龄段女性的生育率i

s和存活率，其计算方法如下:

i

生育率的计算:

1）计算每一个地域每一个年龄的女性的生育率:

j，9

，其中n=1,2,3分别代表城、镇、乡三种地域，即此时bbp,*,mnmnjnmj,

mjjj,，，,1,9年龄为j在第n个地域的女性的生育率等于年龄为岁的女性生

pb育率与该年龄女性性别比成绩之和。

mnmn

2）计算每一个地域不同年龄段的女性的生育率:

10*9i，'

[10*1,10*9]ii,，，即为计算年龄段在内的第n个地bb,,injnji,,10*1

域的女性生育率的平均水平;

3）:

除去地域因素，计算不同年龄段的女性的生育率:

3'

q，其中表示第n个地域的女性占总女性数量的性别比bbnq,*,nniin,1

例;

存活率的计算方法与上述生育率的计算方法类同:

1）计算每一个地域不同年龄段的存活率:

10*9i，1'

，其中n的意义同上;

ss,,injn10ji,,10*1

2）消除地域因素，计算每个年龄段的存活率:

q，其中意义同上;

ssq,*,iniininn,1

则最终的女性生育率与存活率为2001—2005年的相应数值的平均值

得到Leslie矩阵如下

:

0.00130.37390.52600.08220.003800000,,

,0.9945000000000,,

,00.994700000000

,000.99030000000,,

,0000.9863000000,,00000.971400000,,

,000000.92610000,,

0000000.7968000,,

,00000000.217400,,,,000000000.09530,,

,,0.99171此Leslie矩阵对应的最大特征值为:

，这也就意味着人口发展

的总趋势随着时间的推移人口会越来越少。

根据中国人口统计年鉴有关数据，将2005年的数据作为出示时刻的数据，

对将来的人口进行预测:

X（0）（15136.66,21513.44,16515.48,23826.12,20177.82,16495.11,9480.04,,

T5731.74,1636.09,147.26）

2015年的人口按照年龄分布向量为:

X

（1）（1.8786,1.5053,2.1399,1.6355,2.35,1.9601,,

T1.5276,0.7554,0.1246,0.0156）

x（2015）13.8926,亿总人口数量为

2035年的总人口数量按照年龄分布向量为:

X（3）（1.6689,1.8242,1.8584,1.4828,2.0902,1.567,

T2.1141,1.4464,0.2646,0.0156）

x（2035）14.3322,总人口数量为亿,，

为了进一步观察我国人口未来的发展趋势，我们计算了2105年的中国人口按照年龄的分布向量为:

X（10）（1.6661,1.659,1.6658,1.6853,1.6343,1.5573,,

T1.1558,1.1386,0.2762,0.027）

x（2105）12.9544,此时人口的总量为:

亿

得到未来一百年人口预测表格如下:

20152025203520452055206520752085209521051.87861.83431.66891.79161.73421.69141.72041.68391.66821.66611.50531.86831.82421.65971.78171.72461.68211.71091.67461.6592.13991.49741.85841.86451.65091.77231.71551.67321.70181.66581.63552.11921.23281.84031.79691.63491.75511.69881.6571.6853

2.351.61312.19621.56251.81511.77231.61251.7311.67561.63431.96012.28281.5672.03041.42071.76321.72161.56641.68151.62761.52761.81522.16411.45121.88031.31571.63291.59441.45061.55730.75541.21721.46641.68451.15631.49821.04841.30111.27041.15580.12460.16420.26460.34440.36620.25140.32570.22790.28290.27620.01560.01190.06560.02520.030.03490.0240.0310.02170.02713.892614.423615.103314.274313.632313.458913.238213.218613.084312.9544

从表格可以看出，人口的峰值出现在2025—2035年之间，人口最大值达改为15.1033亿左右，这与专家的预测不谋而合，充分显示了此某型的优越性。

因此我们应该将现有的生育率控制在目前水平，

且从表格可以看出2015年左右，年龄在20—29岁的总人口将超过2亿，这也就意味着2015年左右，20—29岁的生育旺盛期的妇女将会出现一个小的高峰期，与国家人口发展战略研究报告得出的结论不谋而合。

说明模型的可靠性很高。

Leslie模型的改进

以年为组划分年龄组，令最长寿命为m，设第t年满i足岁不到i+1足岁的

xt（）xt（）人数为;

t=0,1,2,…;

i=0,1,2,..,m。

与前面Leslie模型不同的是，不光是女ii

dt（）性人口，而是符合条件的全部人口，记为第i年龄组的死亡率，因此有i

xtdtxt

（1）（1（））（），,,（11）iii，1

im,,0,1,2,1t,0,1,2,，

kt（）令bt（）为i组妇女在t年的生育率，[,]ii为妇女的育龄期，为i组中i12i

t年时的女性人口比率，则第t年出生的人口为

i2ptbtktxt（）（）（）（）,（12）,iii1ii,1

dt（）设为第t年的婴儿出生死亡率，有00

xtdtpt（）（1（））（）,,（13）0001

由（11）式和（13）式，易得

i2xtdtdtbtktxt

（1）（1（））（1（））（）（）（），,,,（14）,iii1000ii,1

bt（）将分解为i

bttht（）（）（）,,（15）ii

i2ht（）ht（）1,其中是生育模式，成立，而,iiii,1

i2,,（）（）tbt（16）,i,ii1

表示第t年每个育龄妇女平均生育婴儿数。

将（15）式代入（12）式，令

'

（17）btdtdthtkt（）（1（））（1（））（）（）,,,iii000

那么（17）式可改写为

（18）btdtdthtkt（）（1（））（1（））（）（）,,,iii000

T分别令xtxtxtxt（）（（）,（）,...,（））,m12

00...00，，

,1（）0...00,dt,,1

,01（）...00,dt（19）At（）,2,,

,

,00...1（）0,dt,,m,1，，

，，00（）（）00btbtii,,12,,000000Bt（）,,,

,000000,,，，

那么有

xtAtxttBtxt

（1）（）（）（）（）（），,，,（20）

AtBt（）,（）在社会稳定的前提下，生育和死亡率都比较稳定，从而可以视为常矩

阵，（20）式化为

xtAxttBxt

（1）（）（）（），,，,

人口指数:

（1）人口总数

mNtxt（）（）,,ii,0

（2）平均年龄

m1Rtixt（）（）,,,iNt（）i,0（3）平均寿命

jmStdt（）exp[（）],,,,iji,,00（4）老龄化指数

Rt（）,,（）tSt（）

（）t（5）依赖性指数:

设