高中数学选修21步步高全书配套课件学案第二章221.docx

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高中数学选修21步步高全书配套课件学案第二章221

§2.2　椭　圆

2.2.1　椭圆及其标准方程

学习目标　1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程.

知识点一　椭圆的定义

思考　给你两个图钉,一根无弹性的细绳,一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆？

【参考答案】在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.

梳理　

（1）平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

（2）椭圆的定义用集合语言叙述为：

P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}.

（3）2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

条件

结论

2a>|F1F2|

动点的轨迹是椭圆

2a＝|F1F2|

动点的轨迹是线段F1F2

2a<|F1F2|

动点不存在,因此轨迹不存在

知识点二　椭圆的标准方程

思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？

【参考答案】不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定.

梳理　

（1）椭圆标准方程的两种形式

焦点位置

标准方程

焦点

焦距

焦点在x轴上

＋＝1（a>b>0）

F1（－c,0）,

F2（c,0）

2c

焦点在y轴上

＋＝1（a>b>0）

F1（0,－c）,

F2（0,c）

2c

（2）椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

椭圆在坐标系中的位置

标准方程

＋＝1（a>b>0）

＋＝1（a>b>0）

焦点坐标

F1（－c,0）,F2（c,0）

F1（0,－c）,F2（0,c）

a,b,c的关系

b2＝a2－c2

（3）根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标

判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆,焦点在y轴上,而且可求出焦点坐标F1（0,－1）,F2（0,1）,焦距|F1F2|＝2.

（1）已知F1（－4,0）,F2（4,0）,平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.（×）

（2）已知F1（－4,0）,F2（4,0）,平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.（×）

（3）平面内到点F1（－4,0）,F2（4,0）两点的距离之和等于点M（5,3）到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.（√）

（4）平面内到点F1（－4,0）,F2（4,0）距离相等的点的轨迹是椭圆.（×）

类型一　椭圆定义的应用

例1　点P（－3,0）是圆C：

x2＋y2－6x－55＝0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹.

【试题考点】椭圆的定义

题点　椭圆定义的应用

解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为（x－3）2＋y2＝64,圆心为（3,0）,半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|＋|MP|＝r＝8,根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6＝|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆.

引申探究

若将本例中圆C的方程改为：

x2＋y2－6x＝0且点P（－3,0）为其外一定点,动圆M与已知圆C相外切且过P点,求动圆圆心M的轨迹方程.

解　设M（x,y）,由题意可知,圆C：

（x－3）2＋y2＝9,

圆心C（3,0）,半径r＝3.

由|MC|＝|MP|＋r,故|MC|－|MP|＝r＝3,

即－＝3,

整理得－＝1（x<0）.

反思与感悟　椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.

定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.

常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.

跟踪训练1　

（1）下列命题是真命题的是________.（将所有真命题的序号都填上）

①已知定点F1（－1,0）,F2（1,0）,则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；

②已知定点F1（－2,0）,F2（2,0）,则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；

③到定点F1（－3,0）,F2（3,0）的距离相等的点的轨迹为椭圆.

【试题考点】椭圆的定义

题点　椭圆定义的应用

【参考答案】②

解析　①<2,故点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|＝4,所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1（－3,0）,F2（3,0）的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线（y轴）.

（2）已知一动圆M与圆C1：

（x＋3）2＋y2＝1外切,与圆C2：

（x－3）2＋y2＝81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程.

【试题考点】椭圆的定义

题点　椭圆定义的应用

解　由题意可知C1（－3,0）,r1＝1,C2（3,0）,r2＝9,

设M（x,y）,半径为R,

则|MC1|＝1＋R,|MC2|＝9－R,

故|MC1|＋|MC2|＝10,

由椭圆定义知,点M的轨迹是一个以C1,C2为焦点的椭圆,且a＝5,c＝3,故b2＝a2－c2＝16.

故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.

类型二　椭圆的标准方程

例2　求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点P,Q的椭圆的标准方程.

【试题考点】椭圆定义及标准方程的应用

题点　椭圆标准方程的应用

解　方法一　①当椭圆焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为＋＝1（a>b>0）.

依题意,有

解得

由a>b>0,知不合题意,故舍去；

②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为

＋＝1（a>b>0）.

依题意,有解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m>0,n>0,m≠n）.

则解得

所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1,

故椭圆的标准方程为＋＝1.

引申探究

求与椭圆＋＝1有相同焦点,且过点（3,）的椭圆方程.

解　由题意可设其方程为＋＝1（λ>－9）,

又椭圆过点（3,）,将此点代入椭圆方程,得

λ＝11（λ＝－21舍去）,

故所求的椭圆方程为＋＝1.

反思与感悟　

（1）若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m≠n,m>0,n>0）.

（2）与椭圆＋＝1（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为＋＝1（a>b>0,b2>－λ）,与椭圆＋＝1（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为＋＝1（a>b>0,b2>－λ）.

跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程.

（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F1（－4,0）,F2（4,0）,椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；

（2）椭圆过点（3,2）,（5,1）；

（3）椭圆的焦点在x轴上,且经过点（2,0）和点（0,1）.

【试题考点】椭圆标准方程的求法

题点　定义法求椭圆的标准方程

解　

（1）设其标准方程为＋＝1（a>b>0）.

由题意可知2a＝10,c＝4,故b2＝a2－c2＝9,

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1（A>0,B>0,A≠B）,

则解得

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

（3）设椭圆的标准方程为＋＝1（a>b>0）.

由解得

故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

类型三　求与椭圆有关的轨迹方程

例3　已知B,C是两个定点,|BC|＝8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.

【试题考点】椭圆标准方程的求法

题点　定义法求椭圆的标准方程

解　以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.

由|BC|＝8可知点B（－4,0）,

C（4,0）.

由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18,

得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|,

因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10,但点A不在x轴上.

由a＝5,c＝4,

得b2＝a2－c2＝25－16＝9.

所以点A的轨迹方程为＋＝1（y≠0）.

反思与感悟　求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法：

（1）定义法：

若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义,则可用定义直接求解.

（2）直接法：

将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.

（3）相关点法：

根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.

跟踪训练3　如图,设定点A（6,2）,P是椭圆＋＝1上的动点,求线段AP的中点M的轨迹方程.

【试题考点】椭圆标准方程的求法

题点　定义法求椭圆的标准方程

解　设M（x,y）,P（x1,y1）.

∵M为线段AP的中点,

∴

又∵＋＝1,

∴点M的轨迹方程为＋＝.

1.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为（　　）

A.5B.6C.7D.8

【试题考点】椭圆的标准方程

题点　由椭圆的标准方程求焦点、焦距

【参考答案】D

解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,|PF1|＝2,

结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10,可得|PF2|＝8.

2.已知椭圆的焦点为（－1,0）和（1,0）,点P（2,0）在椭圆上,则椭圆的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1

C.＋＝1D.＋x2＝1

【试题考点】椭圆标准方程的求法

题点　待定系数法求椭圆的标准方程

【参考答案】A

解析　c＝1,a＝×（＋）＝2,∴b2＝a2－c2＝3,

∴椭圆的方程为＋＝1.

3.设F1,F2是椭圆＋＝1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|＝2∶1,则△F1PF2的面积＝________.

【试题考点】椭圆定义及其标准方程的应用

题点　椭圆定义及其标准方程的综合应用

【参考答案】4

解析　由椭圆方程,得a＝3,b＝2,c＝.

∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1,

∴|PF1|＝4,|PF2|＝2,

∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2,

∴△PF1F2是直角三角形,

故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.

4.在椭圆＋y2＝1中,有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1,再次被椭圆反射后又回到F2,则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________.

【试题考点】椭圆定义及其标准方程的应用

题点　椭圆定义及其标准方程的综合应用

【参考答案】4

解析　把粒子运动轨迹表示出来,可知整个路程为4a,即4.

5.若△ABC的三边长a,b,c成等差数列,且b＝6,求顶点B的轨迹方程.

【试题考点】椭圆标准方程的求法

题点　定义法求椭圆的标准方程

解　以直线AC为x轴,AC的中点为原点,建立平面直角坐标系,设A（－3,0）,C（3,0）,B（x,y）,

则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12,

∴B点的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,

且a′＝6,c′＝3,b′2＝27.

故所求的轨迹方程为＋＝1（y≠0）.

1.平面内到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|＋|MF2|＝2a,

当2a＞|F1F2|时,轨迹是椭圆；

当2a＝|F1F2|时,轨迹是一条线段F1F2；

当2a＜|F1F2|时,轨迹不存在.

2.所谓椭圆的标准方程,指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标原点；在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中,都有a>b>0的要求,如方程＋＝1（m>0,n>0,m≠n）就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程,可与直线截距式＋＝1