第4章 n维向量空间.docx

第4章 n维向量空间.docx

《第4章 n维向量空间.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章 n维向量空间.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第4章n维向量空间

第4章n维向量空间

§4.1n维向量

定义1个有次序的数所组成的数组称为维向量,这个数称为该向量的个分量,第个数称为第个分量.

维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.

向量常用黑体小写字母等表示,

即维列向量记为,维行向量记为.

行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.

例设

（1）求;

（2）若有,满足求

解

（1）

（2）由得

在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象.引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量.因此，当时，维向量可以把有向线段作为其几何形象.当时，维向量没有直观的几何形象.KOROv9H。

§4.2向量组的线性相关性

1、向量组的概念

若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.

例如，一个矩阵

每一列组成的向量组称为矩阵的列向量组，

而由矩阵的的每一行组成的向量组称为矩阵的行向量组.

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。

2、线性组合与线性表示

定义2给定向量组，对于任何一组实数,表达式称为向量组的一个线性组合,称为这个线性组合的系数.

给定向量组和向量,若存在一组数使

则称向量是向量组的线性组合,又称向量能由向量组线性表示（或线性表出）.

例设由于,因此是的线性组合.

例2维向量组

称为维单位坐标向量组，任意一个维向量都能由它们线性表示。

如何判断向量能由向量组线性表示？

定理1向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.

例判断向量与是否各为向量组的线性组合.若是,写出表示式.

解设对矩阵施以初等行变换:

易见，秩秩故可由线性表示，且由上面的初等变换可取使类似地，对矩阵施以初等行变换:

易见,秩秩故不能由线性表示.

3、向量组的线性相关性

（一）、线性相关性概念

定义3给定向量组如果存在不全为零的数使则称向量组线性相关,否则称为线性无关.

注:

①包含零向量的任何向量组是线性相关的;

②向量组只含有一个向量时，则

（1）的充分必要条件是是线性无关的；

（2）的充分必要条件是是线性相关的；

③仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；

④两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线,三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.

例1设有3个向量（列向量）:

不难验证因此是3个线性相关的3维向量.

（二）、线性相关性的判定

容易看出：

向量组线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

向量组构成矩阵，向量组的线性相关就是齐次线性方程组有非零解。

定理2向量组线性相关的充要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量的个数；向量组线性无关的充要条件是

例5讨论维单位坐标向量组

的线性相关性.

解维单位坐标向量组构成的矩阵

是阶单位矩阵.由知，即等于向量组中向量的个数,故此向量是线性无关的.

例已知试讨论向量组及的线性相关性.

解

故向量组线性相关;因前两个向量构成的矩阵的秩为2等于向量的个数，所以，向量组线性无关.

例判断下列向量组是否线性相关:

解对矩阵施以初等行变换化为阶梯形矩阵:

秩所以向量组线性相关.

例9证明：

若向量组线性无关,则向量组亦线性无关.

证设有一组数使

（1）

成立，整理得

由线性无关，故

（2）

因为故方程组

（2）仅有零解.即只有时

（1）式才成立.因而向量组线性无关.

定理

（1）相关向量组增加向量后仍然相关，线性无关的向量组减少向量后仍然线性无关.

（2）无关向量组的每个向量增加分量后仍然线性无关.相关向量组减少分量后仍然相关

（3）当向量组的维数小于向量的个数时,此向量组必线性相关.

（4）若向量组线性无关，而向量组线性相关,则向量可由线性表示，且表示是唯一的

§4.3向量组的秩

一、两个向量组的等价

定义4设有两向量组

若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.1MAu6lW。

按定义,若向量组B能由向量组A线性表示,则存在

使

所以

其中矩阵称为这一线性表示的系数矩阵.

若则矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示,为这一表示的系数矩阵.

而矩阵的行向量组能由的行向量组线性表示,为这一表示的系数矩阵.

所以，矩阵经初等行变换变为矩阵，则矩阵的行向量组与矩阵行向量组等价；矩阵经初等列变换变为矩阵，则矩阵的列向量组与矩阵列向量组等价。

Q9AdDEg。

二、极大线性无关组

定义5设有向量组若在向量组中能选出个向量,满足

（1）向量组线性无关;

（2）向量组中任意个向量（若有的话）都线性相关.

则称向量组是向量组的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）.

注:

含有零向量的向量组没有极大无关组

例全体维向量构成的向量组记作,求的一个极大无关组.

解因为维单位坐标向量构面的向量组是线性无关的，又知，中的任意个向量都线性相关，因此向量组是的一个极大无关组Qjd7gcy。

三、向量组的秩

定义6向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩,记为.

规定:

由零向量组成的向量组的秩为0.

例的秩等于.

三、矩阵与向量组秩的关系

定理设为矩阵，则矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.

可知，若是矩阵的一个最高阶非零子式,则所在的列就是的列向量组的一个极大无关组;所在的行即是的行向量组的一个极大无关组.。

8w1yRny。

以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的极大无关组；6GJlk9r。

同理，也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵，通过作初等列变换来求所求向量组的极大无关组.

例求向量组：

，，，的秩和一个极大无关组

定理5若向量组能由向量组线性表示,则.

推论1等价的向量组的秩相等.

推论2设,则

推论3设向量组是有向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个极大无关组.TIcdgX9。

§4.4向量空间

一、向量空间与子空间

定义7设为维向量的集合,若集合非空,且集合对于维向量的加法及数乘两种运算封闭,即

（1）若则;

（2）若则.

则称集合为上的向量空间.

记所有维向量的集合为,由维向量的线性运算规律,容易验证集合对于加法及数乘两种运算封闭.因而集合构成一向量空间,称为维向量空间.8GIvnCO。

注：

时,三维向量空间表示实体空间;

时,维向量空间二表示平面;

时,一维向量空间表示数轴.

时,没有直观的几何形象.

例判别下列集合是否为向量空间

解是向量空间.因为对于的任意两个元素

有

例判别下列集合是否为向量空间

解不是向量空间.

因为若则

例设为两个已知的维向量,集合

试判断集合是否为向量空间.

解是一个向量空间.因为若

则有

即关于向量的线性运算封闭.

这个向量空间称为由向量所生成的向量空间.

注:

通常由向量组所生成的向量空间记为

定义8设有向量空间和,若向量空间,则称是的子空间.

例中过原点的平面是的子空间

二、向量空间的基与维数

定义9设是向量空间,若有个向量,且满足

（1）线性无关;

（2）中任一向量都可由线性表示.

则称向量组为向量空间的一个基,数称为向量空间的维数,记为并称为维向量空间.

注:

（1）只含零向量的向量空间称为0维向量空间,它没有基;

（2）若把向量空间看作向量组,则的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩;

（3）若向量组是向量空间的一个基,则可表示为

此时,又称为由基所生成的向量空间.

（4）如果在向量空间V中取定一个基,那么V中任一向量可惟一地表示为

§4.5线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

设有齐次线性方程组

（1）

若记,

则方程组

（1）可写为向量方程

（2）

称方程

（2）的解为方程组

（1）的解向量.

齐次线性方程组解的性质:

性质1若为方程组

（2）的解,则也是该方程组的解.

性质2若为方程组

（2）的解,为实数,则也是

（2）的解.

注:

齐次线性方程组若有非零解,则它就有无穷多个解.

由性质知：

线性方程组的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间.称此向量空间为齐次线性方程组的解空间.4JMgF4A。

定义10齐次线性方程组的有限个解满足:

（1）线性无关;

（2）的任意一个解均可由线性表示.

则称是齐次线性方程组的一个基础解系.

注：

方程组的一个基础解系即为其解空间的一个基,易见方程组基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.

按上述定义，若是齐次线性方程组的一个基础解系.则的通解可表示为

其中为任意常数.

当一个齐次线性方程组只有零解时,该方程组没有基础解系;而当一个齐次线性方程组有非零解时,是否一定有基础解系呢?

如果有的话,怎样去求它的基础解系?

下面的定理回答了这两个问题.ps4wbFk。

定理12对齐次线性方程组，若,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于,其中是方程组所含未知量的个数.0sbUpeR。

注：

定理的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.

且若已知是线性方程组的一个基础解系，则的全部解可表为（4）

其中为任意实数.称表达式（4）线性方程组的通解.

例求下列齐次线性方程组的一个基础解系:

解对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换:

于是原方程组可同解地变为:

因此基础解系为

例求齐次线性方程组的基础解系与通解.

解对系数矩阵作初等行变换，化为行最简矩阵:

得到原方程组的同解方程组

令即得基础解系

并由此得到通解

二、非齐次线性方程组解的结构

设有非齐次线性方程组

（5）

它也可写作向量方程（6）

性质3设是非齐次线性方程组的解,则是对应的齐次线性方程组的解.

性质4设是非齐次线性方程组的解,为对应的齐次线性方程组的解，则是非齐次线性方程组的解.

定理13（结构定理）设是非齐次线性方程组的一个解,是对应齐次线性方程组的通解,则是非齐次线性方程组的通解.JMRHiJl。

例求线性方程组的通解

例求下列方程组的通解

解

由知方程组有解.

又所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组

令分别代入等价方程组对应的齐次方程组中求得基础解系

求特解:

令得

故所求通解为

其中为任意常数.

例求解下列非齐次线性方程组:

解对方程组的增广矩阵作如下初等变换：

在上面的初等变换中没有作过列对换，因此可立即求出特解和对应齐次线性方程组的基础解系：

原方程组的解为其中为任意数.