有理数知识点考点复习文档格式.docx
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1、有理数的分类
按定义分:
按性质符号分:
有理数
1、有理数只包括正数和分数,无限不循环小数不是有理数,如圆周率就不是有理数了。
2、0是整数不是分数
例1、把下列各数填在相应的集合内:
π,,-3,2,-1,-0.58,0,-3.14,,0.618,10
整数集合:
{…}
分数集合:
非负数集合:
例2、下列说法正确的是()
A有理数分为正数和负数B有理数-a一定表示负数
C正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数D有理数包括整数和分数
2、数轴(重点)
定义:
规定了原点、正方向、单位长度的直线
数轴的含义:
(1)数轴是一条直线,可以向两边无限延伸
(2)数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可
(3)数轴一般取右(或向上)为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向,单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
(4)同一数轴的单位长度必须一致
例1、图中哪一个表示数轴?
并说出理由。
例2、请画出一条数轴,在并且在数轴上标出下面的有理数:
3,-2,-3.5,,0,+2,,0.5.
例3、如图所示,在数轴上,点A,B,C,D依次表示1.5,-2,2,-2.5。
说出个点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度?
例4、如图,数轴上所标出的点中,相邻两点间的距离相等,则点表示的数为()
A、30B、50C、60D、80
例5、如图,数轴的一部分被墨水污染,被污染的部分内含有的整数为___________
例6、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上,文具店位于书店西边20m处,玩具店位于书店东边100m处。
小明从书店沿街向东走了40m,接着又向东走了60m,你知道此时小明的位置在哪吗?
例7、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,求的值
3、相反数(重点)
只有符号不同的两个数叫做相反数。
(在数轴上分别位置原点的两侧,到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。
)
相反数的表示方法及多重符号的化简:
(1)
例1、有理数的相反数是()
(A)(B)(C)3(D)–3
例2、a的相反数是,-a的相反数是,0的相反数是
例3、、若a和b互为相反数,则a+b=
例4、如果,那么,两个实数一定是()
A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数
例5、如果与1互为相反数,则等于()
A.2B.C.1D.
4、绝对值(难点)
绝对值的定义:
数轴上表示a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记为∣a∣,读作:
a的绝对值
因为数的绝对值是表示两点之间的距离,所以一个数的绝对值不可能是负数。
即:
任何数的绝对值都是正数(0的绝对值是0)
绝对值的代数定义:
1)一个正数的绝对值是它本身
2)一个负数的绝对值是它的相反数
3)0的绝对值是0
绝对值的计算规律:
(1)互为相反数的两个数的绝对值相等
(2)若,则a=b或a=-b;
(3)若
例1、如果|-a|=-a,下列成立的是()
A.a<
0B.a≦0C.a>
0D.a≧0
例2、的绝对值是8。
例3、若,则b=,若,若,则a0
例4、若,则等于()
A、2B、8C、2或8D、
例5、已知
7、求a,b的值
8、求的值
求
例6、计算:
例7、
(2)
例8、根据,解答下列问题
(1)当x为何值时,有最小值?
最小值是多少?
(2)当x为何值时,有最大值?
最大值是多少?
例9、已知某零件的标准直径是10mm,超过规定直径长度的数量(单位:
mm)记作正数,不足规定直径长度的数量(单位:
mm)记作负数,检验员某次抽查了5件样品,检查的结果如下表:
序号
1
2
3
4
5
直径长度(mm)
+0.1
-0.15
+0.2
-0.05
+0.25
(1)试指出哪件样品的大小最符合要求;
(2)如果规定偏差的绝对值在0.18mm之内是正品,偏差的绝对值在0,18mm—0.22mm之间是次品,偏差绝对值查过0.22mm是废品,那么上述5件样品中,哪些是正品,哪些是次品,哪些是废品?
1、画数轴时,缺少要素
2、误认为,则a>
0;
若,则a<
已知,则a的值是()
A、正数B、负数C、非正数D、非负数
3、相反数和倒数的定义相混淆
5、有理数的大小比较
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数
(2)两个负数,绝对值大的反而小
例1、比较下列有理数的大小
-(-5)和--(+3)与0
例2、若m>
0,n<
0,且|m|>
|n|,用“>
”把、、、连接起来。
考点3、有理数的加减(重难点)
1、有理数加法
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把其绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)互为相反数的两个数相加得零;
(4)一个数与零相加,仍得这个数。
例1、如果两个有理数的和是正数,那么这两个数()。
(1)都是正数
(2)一个是正数,一个是零
(3)两个数异号,且正数的绝对值较大
D.以上三种情况都有可能
例2、简单计算
(1);
(2);
(3);
(4)
(5)(-51)+(+37);
(6)(+15)+(-15);
(7)(+4.25)+;
(8)(9)15+0;
(10)-4.7+0;
(11)0+0
例3、复杂有理数计算
(1)(+26)+(-14)+(-16)+(+18)
(2)
例4、已知与互为相反数,求的值。
例5、小明在一条南北方向的公路上散步,他从A地出发,每10分钟记录自己的散步情况(向南为正方向,单位:
米),1小时后停下来时记录如下:
-1008,1100,-976,1010,-827,946
此时他在A地的什么方向,距离A地多远?
小明散步共走了多少米?
例6、a与b互为相反数,b与c相乘的积是最大的负整数,d与e的和等于-2,则
的值是多少?
2、有理数减法
①有理数减法法则中,字母a,b表示任意有理数;
0减去任何数得这个数的相反数。
②有理数的减法可转化为有理数的加法进行计算,不要将减法法则与加法法则中异号两书相加混淆。
③计算有理数的减法时,要把减号变为加好,把减数变为它的相反数,即必须同时改变两个符号:
意识运算符号由“-”变为“+”;
而是减数的性质符号由正变为负或由负变为正。
例1、下列说法正确的是()
A.两数相减,被减数一定大于减数
B.0减去一个数仍得这个数
C.互为相反的两个数差为0
D.减去一个正数,差一定小于被减数
例2、计算:
A、
(2)(3)(4)
例3、列出算式并计算下列各题:
(2)潜水员从海平面以下24m处上升到海平面以下15m处,此潜水员上升了多少米?
例4、已知a<
0,b<
0,且试判断a-b的符号。
3、有理数加减的综合运用
例1、计算:
(1)
(2)
(3)1-2-3+4+5-6-7+8+9-11+12+...+2005-2006-2007+2008+2009-2010.
(4)
例2、以地面为基准,A处高+2.5米,B处高为-17.8米,C处高-32.44m,问:
2.A处比B出高多少?
3.B处和C处哪个高?
高多少?
4.A处和C处哪个低?
低多少?
例3、小亮做这样一道题:
“计算”,其中表示被污染看不清的一个数,他翻开答案知道该题的结果是6,那么表示的数是多少?
例4、-a,-b在数轴上的位置如图,
-b-a0
化简:
考点4有理数的乘除、乘方
4.有理数的乘法
①两数相乘,同号得正,异号得负;
②任何数与零相乘,都得零;
③几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数个时,积为负;
当负因数的个数为偶数个时,积为正。
2、有理数除法
①两数相除,同号得正,异号得负
②零除以任何一个不为零的数,都得零;
③除以一个数等于乘以这个数的倒数(零不能作除数)
3、有理数的乘方
负数的偶次幂为正数,负数的奇次幂为负数
4、有理数运算律
①加法的交换律a+b=b+a;
②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c;
③存在数0,使0+a=a+0=a;
④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;
⑤乘法的交换律ab=ba;
⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c;
⑦分配律a(b+c)=ab+ac;
⑧存在乘法的单位元1≠0,使得对任意有理数a,1a=a;
⑨对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a=0文字解释:
一个数乘0还于0。
先乘方、开方,后乘除,最后加减;
有括号时,先算括号里面的;
同级运算按从左至右的顺序进行,同时注意运算律的灵活应用。
加减是一级运算,乘除是二级运算,乘方、开方是三级运算。
例1、计算
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
考点5、近似数、有效数字与科学计数法
①近似数:
一个与实际数比较接近的数,称为近似数。
②有效数字:
对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字开始,草最末一个数字止,都是这个近似数的有效数字。
科学计数法:
把一个数记作a×
10n形式(其中1≤a≤10,n为整数。
题型1近似值
例1光的速度大约是300000000m/s,用科学计数法表示为()。
A.m/sB.m/sC.m/sD.m/s
例2用科学计数法表示下列各数
(3)
(1)7230;
(2)100000;
(3)-102600;
(4)15亿。
例3据国家环保总局通报,北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市,预计今年年底,北京市污水处理能力可以达到每天吨,其表示的原数是()。
A.182000B.182000000C.18200D.1820000
例4地球绕太阳每小时转动的路程约是km,用科学计数法表示地