苏州科技学院考研历年真题之高等代数考研真题Word下载.docx
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1.（20分）证明：
如果，则。
2.（20分）证明：
如果向量组线性相关，则至少有一向量可被线性表示。
3.（20分）如果，且，证明：
，其中是某线性空间中的向量，表示生成的子空间。
4.（20分）特征值全为实数的阶实方阵是否一定相似于对角矩阵？
如果是，请给出证明，否则，举出反例。
5.（20分）设为数域上的阶方阵，且，证明线性空间可分解为线性方程
组与的解空间的直和，其中，为阶单位矩阵。
6.（20分）求矩阵的最大特征值，并求的属于的特征子空间的一个基。
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基础数学试题编号：
7.（20分）设为正定实对称矩阵，是任一正整数，证明：
存在正定实对称矩阵，使。
8.（10分）设阶方阵的行列式为，而矩阵的特征值的绝对值都小于1，其中为阶单位矩阵，证明：
，其中表示的绝对值。
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二00九年攻读硕士学位研究生入学考试试题
1.（20分）设，证明:
当且仅当，其中为自然数.
2.（20分）对参数，讨论方程组解的情况，在有解时求出解.
3.（20分）设向量组线性无关，试讨论向量组的线性相关性.
4.（20分）设是矩阵的特征值，计算行列式，其中为3阶单位矩阵.
5.（20分）求齐次线性方程组的解空间，并写出在中的正交补.
6.（20分）设都是正定矩阵，证明:
的特征值全大于零。
7.（20分）设是维线性空间的线性变换且（为恒等变换），证明：
（1）的特征值为1.
（2），其中和分别是特征值1和-1对应的特征空间.
8.（10分）设为一数域，，是与的最大公因式，是数域上的线性空间的线性变换，证明：
，其中表示线性变换的核。
2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题
专业：
基础数学考试科目：
高等代数科目代码：
818
1.（20分）设不全为零，证明:
如果则。
2.（20分）若向量可由向量组线性表示，证明：
表示法唯一的充分必要条件是线性无关。
3.（20分）设为阶实方阵，证明：
，其中表示矩阵的秩，表示矩阵的转置。
4.（20分）设是维线性空间的线性变换，证明：
，其中表示线性空间的维数。
5.（20分）设是维线性空间的线性变换，证明：
若，但
，则对任意，有，并求的核的维数。
6.（20分）设是数域上的阶方阵，是阶单位矩阵，且，证明:
（1）；
（2）。
7.（20分）设是维欧氏空间的正交变换，的子空间是的不变子空间，证明：
的正交补也是的不变子空间。
8.（10分）证明：
若都是正定矩阵，则的根都是正数。
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考试科目：
科目代码：
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苏州科技学院
2011年硕士研究生入学考试初试试题
科目代码：
819
科目名称：
高等代数
满分：
150
分
注意:
认真阅读答题纸上的注意事项；
所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；
本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
1.（20分），，满足什么条件时，有.
2.（20分）特征值全为实数的阶实方阵是否一定相似于对角矩阵？
3.（20分）若可由线性表示，证明：
4.（20分）设是矩阵的特征值，计算行列式，其中为阶单位矩阵.
当且仅当存在的子空间及，使得，且，，有，.
6.（20分）证明：
7.（20分）设阶方阵的行列式为，矩阵的特征值的绝对值都小于1，其中为阶单位矩阵，证明：
8.（10分）设
2012年硕士研究生入学考试初试试题
823
1.（20分）若阶实方阵的特征值均为正数，试证矩阵（其中表示阶单位矩阵）是可逆矩阵。
2.（20分）设多项式不全为0，证明：
，其中表示的最大公因式，为正整数。
3.（20分）设阶方阵的行列式为，而矩阵的特征值的绝对值都严格小于2，其中为阶单位矩阵，证明：
4.（20分）设为一阶方阵，证明：
存在一个阶非零方阵使的充分必要条件是，其中表示零矩阵。
5.（20分）设向量组线性无关，证明向量组线性无关的充分必要条件是行列式。
6.（20分）若将阶实对称矩阵按合同分类，即两个阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？
7.（20分）设是数域P上的维线性空间V上的线性变换，证明：
1存在P中次数的多项式，使；
2如果，则，其中为的最大公因式；
3可逆当且仅当存在一常数项不为0的多项式，使得。
8.（10分）设为阶实方阵，若维实向量满足，证明：
向量组线性无关。
823科目名称：
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