届人教A版理科数学 导数求极值最值单元测试Word文件下载.docx

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A．x＝为f（x）的极大值点B．x＝为f（x）的极小值点

C．x＝2为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点

答案　D

解析　因为f（x）＝＋lnx，所以f′（x）＝－＋＝，且x>

0.当x>

2时，f′（x）>

0，这时f（x）为增函数；

当0<

2时，f′（x）<

0，这时f（x）为减函数．所以x＝2为f（x）的极小值点．故选D.

4．（2018·

山西太原期中）设函数f（x）＝x3－x＋m的极大值为1，则函数f（x）的极小值为（　　）

A．－　　　　　　　　　B．－1

C.D．1

答案　A

解析　f′（x）＝x2－1，由f′（x）＝0，得x1＝1，x2＝－1.所以f（x）在区间（－∞，－1）上单调递增，在区间（－1，1）上单调递减，在区间（1，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）在x＝－1处取得极大值，且f（－1）＝1，即m＝，函数f（x）在x＝1处取得极小值，且f

（1）＝×

13－1＋＝－.故选A.

5．（2018·

苏锡常镇一调）f（x）＝ex－x（e为自然对数的底数）在区间[－1，1]上的最大值是（　　）

A．1＋B．1

C．e＋1D．e－1

解析　f′（x）＝ex－1，令f′（x）＝0，得x＝0.令f′（x）>

0，得x>

0，令f′（x）<

0，得x<

0，则函数f（x）在（－1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，f（－1）＝e－1＋1，f

（1）＝e－1，f（－1）－f

（1）＝＋2－e<

＋2－e<

0，所以f

（1）>

f（－1）．故选D.

6．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（　　）

A．a－2b＝0B．2a－b＝0

C．2a＋b＝0D．a＋2b＝0

解析　y′＝3ax2＋2bx，据题意，0，是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴－＝，∴a＋2b＝0.

7．已知f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是（　　）

A．－37B．－29

C．－5D．以上都不对

解析　f′（x）＝6x2－12x＝6x（x－2），

∴f（x）在（－2，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减．

∴x＝0为极大值点，也为最大值点．

∴f（0）＝m＝3，∴m＝3.

∴f（－2）＝－37，f

（2）＝－5.

∴最小值是－37，选A.

8．若函数f（x）＝x3－3bx＋3b在（0，1）内有极小值，则（　　）

A．0＜b＜1B．b＜1

C．b＞0D．b＜

解析　f（x）在（0，1）内有极小值，则f′（x）＝3x2－3b在（0，1）上先负后正，∴f′（0）＝－3b＜0.

∴b＞0.f′

（1）＝3－3b＞0，∴b＜1.

综上，b的取值范围为0＜b＜1.

9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图像可能是（　　）

解析　由f（x）在x＝－2处取得极小值可知，

当x<

－2时，f′（x）<

0，则xf′（x）>

0；

当－2<

0时，f′（x）>

0，则xf′（x）<

当x>

0时，xf′（x）>

0.

10．已知f（x）＝x3＋px2＋qx的图像与x轴相切于非原点的一点，且f（x）极小值＝－4，那么p，q值分别为（　　）

A．6，9B．9，6

C．4，2D．8，6

解析　设图像与x轴的切点为（t，0）（t≠0），

设注意t≠0，

可得出p＝－2t，q＝t2.∴p2＝4q，只有A满足这个等式（亦可直接计算出t＝－3）．

11．若函数f（x）＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．[2，＋∞）B．[4，＋∞）

C．{4}D．[2，4]

解析　f′（x）＝3ax2－3，

当a≤0时，f（x）min＝f

（1）＝a－2≥0，a≥2，不合题意；

a≤1时，f′（x）＝3ax2－3＝3a（x＋）（x－），f（x）在[－1，1]上为减函数，

f（x）min＝f

（1）＝a－2≥0，a≥2，不合题意；

当a>

1时，f（－1）＝－a＋4≥0，且f（）＝－＋1≥0，解得a＝4.综上所述，a＝4.

12．若f（x）＝x（x－c）2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．

答案　6

解析　f′（x）＝3x2－4cx＋c2，

∵f（x）在x＝2处有极大值，∴解得c＝6.

13．（2018·

河南信阳调研）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f

（2）的值为________．

答案　18

解析　f′（x）＝3x2＋2ax＋b，由题意得即解得或

当a＝－3，b＝3时，f′（x）＝3（x－1）2≥0，f（x）无极值．

当a＝4，b＝－11时，令f′（x）＝0，得x1＝1，x2＝－.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－）

－

（－，1）

1

（1，＋∞）

f′（x）

＋

f（x）

极大值

极小值

∴f（x）＝x3＋4x2－11x＋16，f

（2）＝18.

14．（2018·

北京市昌平区一模）若函数f（x）＝在x＝1处取得极值，则a＝________．

答案　3

解析　f′（x）＝，由f（x）在x＝1处取得极值知f′

（1）＝0，∴a＝3.

15．已知函数f（x）＝＋lnx，g（x）＝x3＋x2－x.

（1）若m＝3，求f（x）的极值；

（2）若对于任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t），求实数m的取值范围．

答案　

（1）f（x）有极小值f（3）＝1＋ln3，没有极大值

（2）[1，＋∞）

解析　

（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），当m＝3时，f（x）＝＋lnx.

∵f′（x）＝－＋＝，f′（3）＝0，

∴当x>

3时，f′（x）>

0，f（x）是增函数，

3时，f′（x）<

0，f（x）是减函数．

∴f（x）有极小值f（3）＝1＋ln3，没有极大值．

（2）g（x）＝x3＋x2－x，g′（x）＝3x2＋2x－1.

当x∈[，2]时，g′（x）>

0，

∴g（x）在[，2]上是单调递增函数，g

（2）＝10最大．

对于任意的s，t∈[，2]，f（s）≥g（t）恒成立，即对任意x∈[，2]，

f（x）＝＋lnx≥1恒成立，∴m≥x－xlnx.

令h（x）＝x－xlnx，则h′（x）＝1－lnx－1＝－lnx.

1时，h′（x）<

0，当0<

1时，h′（x）>

∴h（x）在（0，1]上是增函数，在[1，＋∞）上是减函数，

当x∈[，2]时，h（x）最大值为h

（1）＝1，

∴m≥1，即m∈[1，＋∞）．

16．（2018·

贵州遵义联考）已知函数f（x）＝x3－ax2＋10.

（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的单调递增区间；

（2）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）<

0成立，求实数a的取值范围．

答案　

（1）（－∞，0）和（，＋∞）　

（2）（，＋∞）

解析　

（1）当a＝1时，f′（x）＝3x2－2x，

由f′（x）>

0或x>

，

所以函数y＝f（x）在（－∞，0）与（，＋∞）上为增函数，

即函数y＝f（x）的单调增区间是（－∞，0）和（，＋∞）．

（2）f′（x）＝3x2－2ax＝3x（x－a），

当a≤1，即a≤时，f′（x）≥0在[1，2]恒成立，f（x）在[1，2]上为增函数，

故f（x）min＝f

（1）＝11－a，

所以11－a<

0，a>

11，这与a≤矛盾．

当1<

a<

2，即<

3时，

若1≤x<

a，则f′（x）<

若a<

x≤2，则f′（x）>

所以当x＝a时，f（x）取得最小值，

因此f（a）<

0，即a3－a3＋10＝－a3＋10<

0，可得a>

3，这与<

3矛盾．

当a≥2，即a≥3时，f′（x）≤0在[1，2]恒成立，f（x）在[1，2]上为减函数，

所以f（x）min＝f

（2）＝18－4a，所以18－4a<

0，解得a>

，满足a≥3.

综上所述，实数a的取值范围为（，＋∞）．

17．已知函数f（x）＝（x－k）ex.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

答案　

（1）减区间（－∞，k－1），增区间（k－1，＋∞）

（2）k≤1时，最小值f（0）＝－k；

1<

k<

2时，最小值f（k－1）＝－ek－1；

k≥2时，最小值f

（1）＝（1－k）e

解析　

（1）f′（x）＝（x－k＋1）ex.

令f′（x）＝0，得x＝k－1.

f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

（－∞，k－1）

k－1

（k－1，＋∞）

－ek－1

所以f（x）的单调递减区间是（－∞，k－1），单调递增区间是（k－1，＋∞）．

（2）当k－1≤0，即k≤1时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝－k；

k－1<

1，即1<

2时，

由

（1）知f（x）在[0，k－1]上单调递减，在（k－1，1]上单调递增，

所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k－1）＝－ek－1；

当k－1≥1，即k≥2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，

所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f

（1）＝（1－k）e.

1．（2017·

河北辛集中学月考）连续函数f（x）的导函数为f′（x），若（x＋1）·

f′（x）>

0，则下列结论中正确的是（　　）

A．x＝－1一定是函数f（x）的极大值点

B．x＝－1一定是函数f（x）的极小值点

C．x＝－1不是函数f（x）的极值点

D．x＝－1不一定是函数f（x）的极值点

解析　x>

－1时，f′（x）>

0，x<

－1时，f′（x）<

∴连续函数f（x）在（－∞，－1）递减，在（－1，＋∞）递增．

∴x＝－1为极小值点．

2．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围（　　）

A．m>

0B．m<

C．m>

1D．m<

解析　y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<

3．函数f（x）＝，x∈[0，4]的最大值是（　　）

A．0B.

C.D.

4．函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3时取得极值，则a＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析　f′（x）＝3x2＋2ax＋3，令f′（－3）＝0，得a＝5.

5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则（　　）

A．a<

－B．a>

C