高二文科数学立体几何练习题文档格式.docx
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面面垂直
平行关系
二垂线定理及逆定理
如果a⊥α,bα,那么a⊥b
如果三个平面两两垂直,那么它们交线两两垂直
如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c
如果a⊥b,a⊥c,bα,cα,b∩c=P,那么a⊥α
如果α⊥β,α∩β=b,aα,a⊥b,那么a⊥β
如果a⊥α,b∥a,那么b⊥α
定义(二面角等于900)
如果a⊥α,aβ,那么β⊥α
数学立体几何练习题
1、选择题:
本大题共15小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1、设有直线m、n和平面、.下列四个命题中,正确的是()
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若,m,则m
D.若,m,m,则m∥
2、已知直线与平面满足和,则有
A.且 B.且
C.且 D.且
3.若,,且,则实数的值是()
A.-1B.0C.1D.-2
4、已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,Al,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()
A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β
5一个几何体的三视图及长度数据如图,则几何体的表面积与体积分别为
6、已知长方体的表面积是,过同一顶点的三条棱长之和是,则它的对角线长是()
A.B.C.D.
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和AC上
的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()
A.相交B.平行C.垂直D.不能确定
8.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD中点,则的大小为()
A.B.C.D.
9.PA,PB,PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是60º
,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为()
A.B。
C。
D。
10.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AA1与CC1的中点,则直线ED与D1F所成角的余弦值是
A.B。
11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为()
A.B.C.D.
12.设E,F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面A1ECF成60°
角的对角线的数目是()
A.0B.2C.4D.6
13.一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值范围是…………………………()
(A)(0º
,90º
)(B)[0º
](C)[0º
,180º
](D)[0º
]
14.1∥2,a,b与1,2都垂直,则a,b的关系是
A.平行B.相交C.异面D.平行、相交、异面都有可能
15.三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,P、Q分别为AA1、CC1上的点,且满足AP=C1Q,则四棱锥B—APQC的体积是
A.B.C.D.
2、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1、平面的一条斜线和这个平面所成角的范围是。
2、所在平面外一点到三角形三顶点等距离,则在平面内的射影是的.
3、所在平面外一点到三角形三边等距离,则在平面内的射影是的.
4、已知斜线的长是它在平面a上射影的2倍,那么斜线与平面a所成的角等于
5、已知四个不共面的点,在空间存在个平面,使各个点到平面的距离相等。
一、选择题
1、两条异面直线所成的角()
A经过空间一点分别作两条异面直线的平行线,这个角叫两条直线所成的角
B经过异面直线上的任意一点作另外一条直线的平行线,这样组成的角
C进过空间一点分别作两条异面直线的平行线所组成的锐角(或直角)叫这两条异面直线所成的角
D两条异面直线在同一个平面的射影的夹角
2、与同一条直线垂直相交的三条直线确定的平面个数为()
A一个平面或两个平面
B两个平面或三个平面
C一个平面、两个平面或三个平面
D一个平面、两个平面或不能确定平面
3、两条异面直线在同一个平面内的射影是()
A两条相交直线B两条平行直线
C两条相交或平行直线D以上均不对
4、一条直线和平面A所成的角为30,则它和平面A内的所有直线所成的角中,最大的角是()
A30B150C90D180
5、一条直线和垂直与它的两条直线确定平面的个数是()
A.一个平面或两个平面
B.两个平面或三个平面
C.一个平面、两个平面或三个平面
D.以上答案均不对
6、一个三棱锥如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面()
A.必然是直角三角形
B.至多只能有一个是直角三角形
C.至多只能有两个是直角三角形
D.可能都是直角三角形
7、在下列四个命题中:
1、若直角三角形在平面内的射影仍是一个三角形,那么原来三角形的重心在平面内的射影是摄影三角形的重心
2、三个平面两两相交,这三条交线一定交于一点
3、一条直线上如果有三个点和一个平面距离相等,那么这条直线与那个平面平行
4、两两垂直的三个平面有一个公共顶点,另一平面与这三个平面相交的一三角形,则顶点在这个三角形的射影是外心;
正确的个数()
A1B2C3D4
8.(精选考题·
海淀区期末)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中不正确的是( )
A.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
B.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
C.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
D.若m⊥α,m⊂β,则α⊥β
9、把正方形ABCD沿对角线AC折起,当A、BC、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为()
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
(04湖南5)
(10)如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,若AD与平面AA1C1C所成的角为,则=10.D
(A)
(B)
(C)
(D)(04浙江10)
11.设
m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面.给出下列四个命题:
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
②若α∥β,β∥r,m⊥α,则m⊥r;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;
④若α⊥r,β⊥r,则α∥β.
其中正确命题的序号是
(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)①和④(04北京3)
12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是()
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【答案】C
二、填空题
1、空间四点无三点共线,可确定个平面。
2、三个平面两两相交,可将空间分成个区域。
3、四面体ABCD中,AB,AD,AC两两垂直,三角形ABC、ABD、ACD的面积分别为则三角形BCD的面积为。
4、已知平面和直线m,给出条件:
①;
②;
③;
④;
⑤.
(i)当满足条件时,有;
(ii)当满足条件时,有.(湖南05)
5、如图,在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PC=BC,
且,则PA与底面ABC所成角为.(05江西15)
三、证明题
1、已知直线,,与平面M斜交,,且平面M,平面M,求证:
。
2、如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=8,AD=4,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积;
(Ⅱ)证明PA⊥BD.(04甘肃21)
3(本小题满分12分)
三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.
(1)求证AB⊥BC;
(2)如果AB=BC=,求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.4(04广西21)
4(04年)如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是线段的中点。
(Ⅰ)求证∥平面;
(Ⅱ)求证平面;
(Ⅲ)求二面角的大小。
5.(05年)如图,在三棱锥中,,,点、分别是、的中点,底面。
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小。
6.【2012】
(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=。
AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
(1)证明:
(i)EF∥A1D1;
(ii)BA1⊥平面B1C1EF;
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
1本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析
问题能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)如图1,取AD的中点E,连结PE,则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD,垂足为O,连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD,
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角,
由已知条件可知∠PEO=60°
,PE=6,
所以PO=3,四棱锥P—ABCD的体积
VP—ABCD=
(Ⅱ)解法一:
如图1,以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得
P(0,0,3),A(2,-3,0),B(2,5,0),D(-2,-3,0)
所以
因为所以PA⊥BD.
解法二:
如图2,连结AO,延长AO交BD于点F.能过计算可得EO=3,AE=2,
又知AD=4,AB=8,
得
所以Rt△AEO∽Rt△BAD.
得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD.
因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影,所以PA⊥BD.
2本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识,以有逻辑思维能力和空间想
象能力.满分12分.
如果,取AC中点D,连结PD、BD.
因为PA=PC,所以PD⊥AC,
又已知面PAC⊥面ABC,
所以PD⊥面ABC,D为垂足.
因为PA=PB=PC,
所以DA=DB=DC,可知AC为△ABC外接圆直径,
因此AB⊥BC.
(2)解:
因为AB=BC,D为AC中点,所以BD⊥AC.
又面PAC⊥面ABC,
所以BD⊥平面PAC,D为垂足.
作BE⊥PC于E,连结DE,
因为DE为BE在平面PAC内的射影,
所以DE⊥PC,∠BED为所求二面角的平面角.
在Rt△ABC中,AB=BC=,所以BD=.
在Rt△PDC中,PC=3,DC