届高中数学人教A版 解三角形单元测试Word版含答案10Word文件下载.docx
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，灯塔B在观察站C南偏东30°
处，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．400m
B．500m
C．700m
D．800m
6.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b.若2asinB＝b，则角A等于（ ）
B．
D．
7.在△ABC中，B＝60°
，b2＝ac，则这个三角形是（ ）
A．不等边三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝，B＝，a＝3，则c的值为（ ）
A．3
C．3
D．6
9.在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tanC为（ ）
B．1
10.若△ABC的内角A，B，C满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶3，则cosB等于（ ）
11.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，若<
0，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或钝角三角形
12.在△ABC中，A＝60°
，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题（共4小题,每小题5.0分,共20分）
13.在△ABC中，若∠A＝120°
，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.
14.在△ABC中，A＝60°
，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.
16.线段AB外有一点C，∠ABC＝60°
，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车之间的距离最小．
三、解答题（共6小题,每小题12.0分,共72分）
17.某人在塔的正东方向沿着南偏西60°
的方向前进40m以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°
，求塔高．
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋（cosA－sinA）cosB＝0.
（1）求角B的大小；
（2）若a＋c＝1，求b的取值范围．
19.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝accosB.
（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围.
20.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°
，距离为12nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°
，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°
，求：
（1）A处与D处的距离；
（2）灯塔C与D处的距离．
21.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
22.设函数f（x）＝cos（2x＋）＋sin2x.
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f（）＝－，且C为锐角，求sinA.
答案解析
1.【答案】B
【解析】由2b＝a＋c，得a2＋c2＝4b2－2ac.
又S△ABC＝且B＝30°
，
∴S△ABC＝acsinB＝acsin30°
＝＝，得ac＝6，∴a2＋c2＝4b2－12.
由余弦定理得cosB＝＝＝，又b>
0，解得b＝1＋.
2.【答案】A
【解析】因为a＝3，b＝4，c＝5，所以△ABC是以C为直角的直角三角形，根据正弦定理可知A正确，故选A.
3.【答案】B
【解析】∵A∶B∶C＝3∶4∶5，
∴A＝45°
，B＝60°
，C＝75°
∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶∶（＋1）．
4.【答案】D
【解析】由sinAsinC>
cosAcosC，
可得cos（A＋C）<
0，∴cosB>
0.但A、C不能判断．
5.【答案】C
【解析】
6.【答案】D
【解析】由正弦定理得＝，
∴sinA＝，又△ABC是锐角三角形，∴A＝.
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
【解析】由S△ABC＝BC·
BAsinB＝得BA＝1，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·
BCcosB，
∴AC＝，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，
∴tanC＝＝.
10.【答案】B
【解析】根据正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝2∶3∶3，不妨设a＝2k，k>
0，则b＝c＝3k，
所以cosB＝＝＝.
11.【答案】C
【解析】由已知及余弦定理得cosC<
0，C是钝角，
故选C.
12.【答案】C
【解析】由A＝60°
，不妨设△ABC中最大边长和最小边长分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos60°
＝（b＋c）2－3bc＝72－3×
11＝16，∴a＝4.
13.【答案】3
【解析】在△ABC中，由余弦定理，得
cosA＝cos120°
＝，
即＝－.
解得AC＝－8（舍去）或AC＝3.
14.【答案】10
【解析】设AC＝x，则由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·
ACcosA，
∴49＝25＋x2－5x，
∴x2－5x－24＝0.
∴x＝8或x＝－3（舍去）．
∴S△ABC＝×
5×
8×
sin60°
＝10.
15.【答案】
【解析】由余弦定理，得
cosB＝＝－，
∴B＝.
16.【答案】
如图，设th后，汽车由A行驶到D，
摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t，
因为AB＝200，所以BD＝200－80t，
问题就是求DE最小时t的值．
由余弦定理得DE2＝BD2＋BE2－2BD·
BE·
cos60°
＝（200－80t）2＋2500t2－（200－80t）·
50t
＝12900t2－42000t＋40000.
当t＝－＝时，DE最小．
17.【答案】解 依题意画图，
此人在C处，AB为塔高，他沿CD前过，CD＝40m，此时∠DBF＝45°
从点C到点D所测塔的仰角，只有点B到CD的距离最短时，仰角最大，
这是因为tan∠AEB＝，AB为定值．
过点B作BE⊥CD于点E，连接AE，则∠AEB＝30°
.
在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°
，∠DBC＝135°
由正弦定理，得＝，
∴BD＝＝20.
在Rt△BED中，∠BDE＝180°
－135°
－30°
＝15°
∴BE＝DBsin15°
＝20×
＝10（－1）．
在Rt△ABE中，∠AEB＝30°
∴AB＝BEtan30°
＝（3－）．
故所求的塔高（3－）m.
18.【答案】解
（1）由题意得
－cos（A＋B）＋（cosA－sinA）cosB＝0，
∴sinAsinB－sinAcosB＝0，
∴sinA（sinB－cosB）＝0.
∵sinA≠0，∴sinB－cosB＝0，
即tanB＝，∴B＝.
（2）由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.
∵a＋c＝1，cosB＝，
∴b2＝3（a－）2＋.
又∵0<
a<
1，∴≤b2<
1，
∴≤b<
1.
19.【答案】解 由三角形面积公式及已知条件得
S＝acsinB＝accosB.
化简得sinB＝cosB，即tanB＝.
∵0<
B<
π，∴B＝.
（1）由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝a2＋4a2－2a2＝3a2，∴b＝a.
∴a∶b∶c＝1∶∶2.
由正弦定理得A＝，C＝.
（2）由正弦定理得＝，
即c＝＝.
由C＝－A，得c＝
＝＝＋1.
由≤A≤，知1≤tanA≤，
故c∈[2，＋1].
20.【答案】解
（1）在△ABD中，∠ADB＝60°
，B＝45°
AB＝12，由正弦定理，得
AD＝＝＝24（nmile）．
（2）在△ADC中，∠CAD＝30°
，AC＝8，
由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·
AC·
cos30°
解得CD＝8nmile.
∴A处与D处的距离为24nmile，
灯塔C与D处的距离为8nmile.
21.【答案】由条件知：
cosA＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理知：
x2＝（）2＋AB2－2·
（）·
ABcosA＝42＋92－2×
4×
9×
＝49，
所以x＝7，即AC边上的中线长为7.
22.【答案】解
（1）f（x）＝cos2xcos－sin2xsin＋
＝cos2x－sin2x＋－cos2x
＝－sin2x.
所以当2x＝－＋2kπ，即x＝－＋kπ（k∈Z）时，
f（x）取得最大值，f（x）最大值＝，
f（x）的最小正周期T＝＝π，
故函数f（x）的最大值为，最小正周期为π.
（2）由f（）＝－，
即－sinC＝－，
解得sinC＝，
又C为锐角，所以C＝.
由cosB＝，求得sinB＝.
因此sinA＝sin[π－（B＋C）]＝sin（B＋C）
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝×
＋×
＝.
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