届高中数学人教A版 解三角形单元测试Word版含答案10Word文件下载.docx
《届高中数学人教A版 解三角形单元测试Word版含答案10Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高中数学人教A版 解三角形单元测试Word版含答案10Word文件下载.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,灯塔B在观察站C南偏东30°
处,则两灯塔A、B间的距离为( )
A.400m
B.500m
C.700m
D.800m
6.在锐角△ABC中,角A、B所对的边长分别为a、b.若2asinB=b,则角A等于( )
B.
D.
7.在△ABC中,B=60°
,b2=ac,则这个三角形是( )
A.不等边三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=,B=,a=3,则c的值为( )
A.3
C.3
D.6
9.在△ABC中,BC=2,B=,若△ABC的面积为,则tanC为( )
B.1
10.若△ABC的内角A,B,C满足sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶3,则cosB等于( )
11.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边长,若<
0,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角或钝角三角形
12.在△ABC中,A=60°
,且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根,则第三边的长为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.在△ABC中,若∠A=120°
,AB=5,BC=7,则AC=________.
14.在△ABC中,A=60°
,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为________.
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,c=,则B=________.
16.线段AB外有一点C,∠ABC=60°
,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始________h后,两车之间的距离最小.
三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)
17.某人在塔的正东方向沿着南偏西60°
的方向前进40m以后,望见塔在东北方向上,若沿途测得塔的最大仰角为30°
,求塔高.
18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
19.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积为S=accosB.
(1)若c=2a,求角A,B,C的大小;
(2)若a=2,且≤A≤,求边c的取值范围.
20.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°
,距离为12nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°
,距离为8nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°
,求:
(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处的距离.
21.在△ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长.
22.设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA.
答案解析
1.【答案】B
【解析】由2b=a+c,得a2+c2=4b2-2ac.
又S△ABC=且B=30°
,
∴S△ABC=acsinB=acsin30°
==,得ac=6,∴a2+c2=4b2-12.
由余弦定理得cosB===,又b>
0,解得b=1+.
2.【答案】A
【解析】因为a=3,b=4,c=5,所以△ABC是以C为直角的直角三角形,根据正弦定理可知A正确,故选A.
3.【答案】B
【解析】∵A∶B∶C=3∶4∶5,
∴A=45°
,B=60°
,C=75°
∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=2∶∶(+1).
4.【答案】D
【解析】由sinAsinC>
cosAcosC,
可得cos(A+C)<
0,∴cosB>
0.但A、C不能判断.
5.【答案】C
【解析】
6.【答案】D
【解析】由正弦定理得=,
∴sinA=,又△ABC是锐角三角形,∴A=.
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
【解析】由S△ABC=BC·
BAsinB=得BA=1,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·
BCcosB,
∴AC=,∴△ABC为直角三角形,其中A为直角,
∴tanC==.
10.【答案】B
【解析】根据正弦定理知sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶3,不妨设a=2k,k>
0,则b=c=3k,
所以cosB===.
11.【答案】C
【解析】由已知及余弦定理得cosC<
0,C是钝角,
故选C.
12.【答案】C
【解析】由A=60°
,不妨设△ABC中最大边长和最小边长分别为b,c,故b+c=7,bc=11,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos60°
=(b+c)2-3bc=72-3×
11=16,∴a=4.
13.【答案】3
【解析】在△ABC中,由余弦定理,得
cosA=cos120°
=,
即=-.
解得AC=-8(舍去)或AC=3.
14.【答案】10
【解析】设AC=x,则由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·
ACcosA,
∴49=25+x2-5x,
∴x2-5x-24=0.
∴x=8或x=-3(舍去).
∴S△ABC=×
5×
8×
sin60°
=10.
15.【答案】
【解析】由余弦定理,得
cosB==-,
∴B=.
16.【答案】
如图,设th后,汽车由A行驶到D,
摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t,
因为AB=200,所以BD=200-80t,
问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·
BE·
cos60°
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·
50t
=12900t2-42000t+40000.
当t=-=时,DE最小.
17.【答案】解 依题意画图,
此人在C处,AB为塔高,他沿CD前过,CD=40m,此时∠DBF=45°
从点C到点D所测塔的仰角,只有点B到CD的距离最短时,仰角最大,
这是因为tan∠AEB=,AB为定值.
过点B作BE⊥CD于点E,连接AE,则∠AEB=30°
.
在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°
,∠DBC=135°
由正弦定理,得=,
∴BD==20.
在Rt△BED中,∠BDE=180°
-135°
-30°
=15°
∴BE=DBsin15°
=20×
=10(-1).
在Rt△ABE中,∠AEB=30°
∴AB=BEtan30°
=(3-).
故所求的塔高(3-)m.
18.【答案】解
(1)由题意得
-cos(A+B)+(cosA-sinA)cosB=0,
∴sinAsinB-sinAcosB=0,
∴sinA(sinB-cosB)=0.
∵sinA≠0,∴sinB-cosB=0,
即tanB=,∴B=.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.
∵a+c=1,cosB=,
∴b2=3(a-)2+.
又∵0<
a<
1,∴≤b2<
1,
∴≤b<
1.
19.【答案】解 由三角形面积公式及已知条件得
S=acsinB=accosB.
化简得sinB=cosB,即tanB=.
∵0<
B<
π,∴B=.
(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB
=a2+4a2-2a2=3a2,∴b=a.
∴a∶b∶c=1∶∶2.
由正弦定理得A=,C=.
(2)由正弦定理得=,
即c==.
由C=-A,得c=
==+1.
由≤A≤,知1≤tanA≤,
故c∈[2,+1].
20.【答案】解
(1)在△ABD中,∠ADB=60°
,B=45°
AB=12,由正弦定理,得
AD===24(nmile).
(2)在△ADC中,∠CAD=30°
,AC=8,
由余弦定理,得
CD2=AD2+AC2-2AD·
AC·
cos30°
解得CD=8nmile.
∴A处与D处的距离为24nmile,
灯塔C与D处的距离为8nmile.
21.【答案】由条件知:
cosA===,
设中线长为x,由余弦定理知:
x2=()2+AB2-2·
()·
ABcosA=42+92-2×
4×
9×
=49,
所以x=7,即AC边上的中线长为7.
22.【答案】解
(1)f(x)=cos2xcos-sin2xsin+
=cos2x-sin2x+-cos2x
=-sin2x.
所以当2x=-+2kπ,即x=-+kπ(k∈Z)时,
f(x)取得最大值,f(x)最大值=,
f(x)的最小正周期T==π,
故函数f(x)的最大值为,最小正周期为π.
(2)由f()=-,
即-sinC=-,
解得sinC=,
又C为锐角,所以C=.
由cosB=,求得sinB=.
因此sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC
=×
+×
=.