幂函数和指数函数的区别Word文件下载.docx
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幂函数的性质：
根据图象,幂函数性质归纳如下：
〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点〔1,1〕；
〔2〕当a>
0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞）上是增函数．
特别地，当a>
1时，幂函数的图象下凸；
当0<
1时，幂函数的图象上凸；
〔3〕当a<
0时，幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数．在第一象限，
当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋
于+∞时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。
指出：
此时y＝x0＝1；
定义域为〔－∞，0〕∪〔0，＋∞〕，特别强调，
当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点〔0，1〕出发，平行于x轴的两条射线，但点〔0，1〕要除外。
思考讨论：
〔1〕在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？
〔2〕在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？
讲评：
〔1〕在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限是增函数。
对数函数的性质
（1）当a＞1时，
①x＞0，即0和负数无对数；
②当x=1时，y=0；
③当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0；
④在〔0，+∞〕上是增函数．
（2）当0＜a＜1时，
①x＞0，即0和负数没有对数；
③当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0；
④在〔0，+∞〕上是减函数．
函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数〔这里我们只讨论a是有理数n的情况〕．
对数与对数函数
学习目标
1、理解对数概念；
2、能进展对数式与指数式的互化；
3、掌握对数的运算性质；
4、培养应用意识、化归意识。
5、掌握对数函数的概念；
6、掌握对数函数的图像的性质；
7、掌握比拟对数大小的方法，培养应用意识；
8、培养图形结合、化归等思想。
知识要点:
我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经历得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算。
1．对数的定义:
如果ab=N（a>
0，且a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作:
logaN=b。
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
注意:
由于a>
0，故N>
0，即N为正数，可见零和负数没有对数。
上面的问题:
通常将以10为底的对数叫做常用对数，。
以e为底的对数叫做自然对数，。
2．对数式与指数式的关系
由定义可知:
对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。
它们的关系可由以下图表示。
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。
3．三个对数恒等式
由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。
在〔a>
0，a≠1〕前提下有:
4.三个运算法那么:
指数的运算法那么通过转化可变为对数的运算法那么。
在a>
0，a≠1的前提下有:
（1）
令am=M，an=N，那么有m=logaM，n=logaN，
∵，∴m+n=loga（MN），即
（2），
∵，∴，即。
（3），令am=M，那么有m=logaM，∴mn=n
∵Mn=amn，∴mn=（n∈R），∴n=。
5．两个换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进展换底，在a>
0，a≠1，M>
0的前提下有:
（1）
令logaM=b，那么有ab=M，（ab）n=Mn，即，即，即:
。
（2），令logaM=b，那么有ab=M，那么有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现
（1）可由
（2）推出，但在解决某些问题
（1）又有它的灵活性。
而且由
（2）还可以得到一个重要的结论:
例题选讲:
第一阶梯
[例1]将以下对数式化为指数式，指数式化为对数式：
（1）log216=4；
（3）54=625；
解：
（1）24=16
（3）∵54=625，∴log5625=4.
[例2]解以下各式中的x：
（3）2x=3；
（4）log3（x-1）=log9（x+5）.
（3）x=log23.
（4）将方程变形为
[例3]求以下函数的定义域：
思路分析：
求定义域即求使解析式有意义的x的围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。
（1）令x2-4x-5>
0，得（x-5）（x+1）>
0，故定义域为{x|x<
-1，或x>
5}
∴0<
4x-3≤1。
所以所求定义域为{x|-1<
0，或0<
X<
2}.<
SPAN>
第二阶梯
[例4]比拟以下各组数中两个值的大小
（1）log23.4，log28.5；
（2）log0.31.8，log0.32.7；
（3）loga5.1，loga5.9（a>
0，a≠1）。
题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值，可由对数函数的单调性确定。
解：
（1）因为底数2>
1，所以对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4<
LOG28.5；
（2）因为底数为0.3，又0<
0.3<
1，所以对数函数y=log0.3x在（0，+∞）上是减函数，于是log0.31.8>
log0.32.7；
（3）当a>
1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，所以loga5.1<
LOGa5.9；
Aax在（0，+∞）上是减函数，所以loga5.1>
loga5.9。
说明：
此题是利用对数函数的单调性比拟两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进展讨论来比拟两个对数的大小，利用函数单调性比拟对数的大小，是重要的根本方法。
[例5]假设a>
0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，以下式子中正确的个数是〔〕
（1）logax·
logay=loga（x+y）；
（2）logax-logay=loga（x-y）；
（4）logaxy=logax·
logay；
A、0
B、1
C、2
D、3
对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。
在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。
如logax≠loga·
x，logax是不可分开的一个整体。
4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。
答案：
A
[例6]lg2=0.3010，lg3=0.4771，求。
思路分析：
解此题的关键是设法将的常用对数分解为2，3的常用对数代入计算。
第三阶梯
[例7]假设方程lg（ax）·
lg（ax2）=4的所有解都大于1，求a的取值围。
由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。
原方程化为
（lgx+lga）（lga+2lgx）=4。
2lg2x+3lga·
lgx+lg2a-4=0，
令t=lgx，那么原方程等价于
2t2+3tlga+lg2a-4=0，（*）
假设原方程的所有解都大于1，那么方程〔*〕的所有解均大于0，那么
说明：
换元要确保新变量与所替换的量取值围的一致性。
[例8]将y=2x的图像〔〕
A、先向左平行移动1个单位
B、先向右平行移动1个单位
C、先向上平行移动1个单位
D、先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2（x+1）的图像。
由于第二步的变换结果是的，故此题可逆向分析。
解法1：
在同一坐标系分别作为y=2x与y=log2（x+1）的图像，直接观察，即可得D。
解法2：
与函数y=log2（x+1）的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位。
解法3：
本身。
函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过（0，0）点，因此排除A、B、C，即得D。
此题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。
[例9]log189=a，18b=5，求log3645的值；
〔用含有a、b的式子表示〕
当指数的取值围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算〔扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算〕。
因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。
由18b=5，得b=log185，又log189=a，∴log189+log185=log3645=a+b，那么
在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体表达，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步到达灵活应用。
详细题解
1．求值:
（1）
（2） （3）
解:
（1）。
（2）
（3）
注意:
lg2=log102，此为常用对数，lg22=（lg2）2，区别于。
2．求值:
（1）
（2）（3）
（2）。
（3）法一：
法二：
运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。
（3）的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。
3．:
log23=a，log37=b，求:
log4256=?
∵，∴，
4．:
a2+b2=7ab，a>
0，b>
0。
求证:
证明:
∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即（a+b）2=9ab，∴lg（a+b）2=lg（9ab），
∵a
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