幂函数和指数函数的区别Word文件下载.docx

1、幂函数的性质：根据图象,幂函数性质归纳如下：1所有的幂函数在0，+都有定义，并且图象都过点1,1；2当a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+ ）上是增函数特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；3当a0，且a1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。注意:由于a0，故N0，即N为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题:通常将以10为底的对数叫做常用对数，。以e为底的对数叫做自然对数，。2对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由以下图表示。由

2、此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。3三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在a0，a1前提下有:4. 三个运算法那么:指数的运算法那么通过转化可变为对数的运算法那么。在a0，a1的前提下有:（1） 令am=M，an=N，那么有m=logaM，n=logaN， m+n=loga（MN），即（2） ，即。（3） ，令am=M，那么有 m=logaM，mn=n Mn=amn， mn= （nR）， n = 。5两个换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进展换底，在a0，a1，M0的前提下有:（1） 令logaM=b，那么有ab=M，（ab）

3、n=Mn，即，即，即:。（2） ，令logaM=b，那么有ab=M，那么有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性。而且由（2）还可以得到一个重要的结论: 例题选讲:第一阶梯 例1将以下对数式化为指数式，指数式化为对数式：（1）log216=4； （3）54=625；解：（1）24=16（3）54=625，log5625=4.例2解以下各式中的x：（3）2x=3；（4）log3（x-1）=log9（x+5）.（3）x=log23.（4）将方程变形为例3求以下函数的定义域：思路分析：求定义域即求使解析式有意义的x的围，真数大于0、底大于0且不

4、等于1是对数运算有意义的前提条件。（1）令x2-4x-50，得（x-5）（x+1）0，故定义域为x|x504x-31。所以所求定义域为x|-10，或0X2.第二阶梯 例4比拟以下各组数中两个值的大小（1）log23.4， log28.5；（2）log0.31.8， log0.32.7；（3）loga5.1， loga5.9（a0，a1）。题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值，可由对数函数的单调性确定。 解：（1）因为底数21，所以对数函数y=log2x在（0，+）上是增函数，于是log23.4LOG28.5；（2）因为底数为0.3，又00.3

5、log0.32.7；（3）当a1时，函数y=logax在（0，+）上是增函数，所以loga5.1loga5.9。说明：此题是利用对数函数的单调性比拟两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进展讨论来比拟两个对数的大小，利用函数单调性比拟对数的大小，是重要的根本方法。例5假设a0，a1，x0，y0，xy，以下式子中正确的个数是 （1）logaxlogay=loga（x+y）；（2）logax-logay=loga（x-y）；（4）logaxy=logaxlogay；A、0 B、1 C、2 D、3对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运

6、算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。答案：A例6lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 。 思路分析：解此题的关键是设法将 的常用对数分解为2，3的常用对数代入计算。第三阶梯 例7假设方程lg（ax）lg（ax2）=4的所有解都大于1，求a的取值围。由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。原方程化为（lgx+lga）（lga+2lgx）=4。2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0，令t=lgx，那么原方程等价于2t

7、2+3tlga+lg2a-4=0，（*）假设原方程的所有解都大于1，那么方程*的所有解均大于0，那么 说明：换元要确保新变量与所替换的量取值围的一致性。 例8将y=2x的图像 A、先向左平行移动1个单位 B、先向右平行移动1个单位 C、先向上平行移动1个单位 D、先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2（x+1）的图像。由于第二步的变换结果是的，故此题可逆向分析。 解法1：在同一坐标系分别作为y=2x与y=log2（x+1）的图像，直接观察，即可得D。 解法2：与函数y=log2（x+1）的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到

8、它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位。 解法3： 本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过（0，0）点，因此排除A、B、C，即得D。此题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。 例9log189=a，18b=5，求log3645的值；用含有a、b的式子表示 当指数的取值围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。由18b=5，得b=log185，又log189=a，log189+log185=log3645=a+b，那么在解题过程中，根据问题

9、的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体表达，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步到达灵活应用。 详细题解 1求值:（1） （2） （3） 解:（1） 。（2） （3） 注意:lg2=log102，此为常用对数，lg22=（lg2）2，区别于。2求值:（1） （2） （3） （2） 。（3） 法一：法二：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。（3） 的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。3:log23=a，log37=b，求:log4256=? ，4:a2+b2=7ab，a0，b0。 求证:证明: a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即（a+b）2=9ab， lg（a+b）2=lg（9ab）， a