第二章第5讲二次函数与幂函数Word文件下载.docx

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（3）零点式f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

2．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f（x）≤f＝8，且f

（2）＝－1，求二次函数f（x）的解析式．

因为对任意实数x都有f（x）≤f＝8，所以二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，当x＝时，f（x）max＝8，

即二次函数的图象开口向下，且顶点的坐标为.

所以令f（x）＝a2＋8，又f

（2）＝－1，

所以a2＋8＝－1，解之得a＝－4，

所以f（x）＝－4（x－）2＋8＝－4x2＋4x＋7.

3．闭区间上的二次函数的最值

二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）在闭区间[p，q]上的最值只能在x＝－处及区间的两端点处取得，具体如下：

当a>

0时，若x＝－∈[p，q]，则

f（x）min＝f，f（x）max＝max{f（p），f（q）}；

若x＝－∉[p，q]，f（x）max＝max{f（p），f（q）}，

f（x）min＝min{f（p），f（q）}．

当a＜0时，

若x＝－∈[p，q]，则f（x）max＝f，

f（x）min＝min{f（p），f（q）}；

若x＝－∉[p，q]，则

f（x）max＝max{f（p），f（q）}，

3．已知函数f（x）＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．

f（x）＝4（x－）2－2a＋2，

①当≤0，即a≤0时，函数f（x）在区间[0,2]上是增函数，

f（x）min＝f（0）＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±

，又a＜0，

所以a＝1－.

②当0＜＜2，即0＜a＜4时，

f（x）min＝f＝－2a＋2，由－2a＋2＝3，

得a＝－∉（0,4），故舍去．

③当≥2，即a≥4时，函数f（x）在区间[0,2]上是减函数，

所以f（x）min＝f

（2）＝a2－10a＋18，

由a2－10a＋18＝3，解得a＝5±

，因为a≥4，所以a＝5＋.

综上所述，a＝1－或a＝5＋.

1．必明辨的1个易错点

对于二次函数单调性、最值等研究没有注意自变量的限制条件．

[练一练]　

1．已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．

解析：

f（x）＝－（x－a）2＋a2－a＋1，

1时，ymax＝a；

当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；

当a＜0时，ymax＝1－a.

根据已知条件或或

解得a＝2或a＝－1.

答案：

2或－1

2．必会的2种方法

（1）结合二次函数图象，利用数形结合思想解题．

（2）与二次方程紧密结合，利用函数与方程思想解题．

[练一练]

2．设二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f（m）≤f（0），则实数m的取值范围是________．

二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′（x）＝2a（x－1）≤0，x∈[0,1]，

所以a>

0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝1.

所以f（0）＝f

（2），则当f（m）≤f（0）时，有0≤m≤2.

[0,2]

3．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝0，f（－x＋5）＝f（x－3），且方程f（x）＝x有等根．

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]？

如果存在，求出m，n的值，如果不存在，说明理由．

（1）因为f（x）是二次函数，

故可设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

又f（0）＝0，所以c＝0，即f（x）＝ax2＋bx.

又f（－x＋5）＝f（x－3），

所以函数f（x）的对称轴方程为x＝1，

即－＝1.

又方程f（x）＝x有等根，

所以在方程ax2＋bx＝x中，（b－1）2＝0，即b＝1；

所以a＝－，即f（x）＝－x2＋x.

（2）假设存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]，

因为f（x）＝－（x－1）2＋≤，

所以3n≤⇒n≤，

故f（x）在[m，n]上为增函数，

所以

又m<

n，所以

所以存在实数m＝－4，n＝0，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]．

考点一　幂函数的图象与性质　

　点（，2）与点分别在幂函数f（x）、g（x）的图象上，问当x为何值时，有①f（x）>

g（x）；

②f（x）＝g（x）；

③f（x）<

g（x）．

[解]　设f（x）＝xα，g（x）＝xβ，则（）α＝2，（－2）β＝－，所以α＝2，β＝－1.

所以f（x）＝x2，g（x）＝x－1.

分别作出它们的图象如图，由图象可知，

①当x∈（－∞，0）∪（1，＋∞）时，f（x）>

②当x＝1时，f（x）＝g（x）；

③当x∈（0,1）时，f（x）<

[名师点评]　用待定系数法求幂函数的解析式，只需一个条件．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

　1.已知幂函数f（x）＝x（m2＋m）－1（m∈N*），

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2）若该函数还经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）>

f（a－1）的实数a的取值范围．

（1）m2＋m＝m（m＋1），m∈N*，

而m与m＋1中必有一个为偶数，

所以m（m＋1）为偶数．

所以函数f（x）＝x（m2＋m）－1（m∈N*）的定义域为[0，＋∞），并且在定义域上为增函数．

（2）因为函数f（x）经过点（2，），

所以＝2（m2＋m）－1，即2＝2.

所以m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.

又m∈N*，所以m＝1.

由f（2－a）>

f（a－1）得

解得1≤a<

，所以实数a的取值范围为[1，）．

考点二　二次函数的图象与性质（高频考点）

　已知函数f（x）＝x2－2ax＋1，求f（x）在区间[0,2]上的最值．

[解]　函数f（x）＝x2－2ax＋1＝（x－a）2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，

（1）若a<

0，f（x）在区间[0,2]上单调递增，

当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝1；

当x＝2时，f（x）max＝f

（2）＝5－4a；

（2）若0≤a<

1，则

当x＝a时，f（x）min＝f（a）＝1－a2；

（3）若1≤a<

2，则

当x＝0时，f（x）max＝f（0）＝1；

（4）若a≥2，则f（x）在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f（x）max＝f（0）＝1；

当x＝2时，f（x）min＝f

（2）＝5－4a.

综上，当a<

0时，f（x）min＝1，f（x）max＝5－4a；

当0≤a<

1时，f（x）min＝1－a2，f（x）max＝5－4a；

当1≤a<

2时，f（x）min＝1－a2，f（x）max＝1；

当a≥2时，f（x）min＝5－4a，f（x）max＝1.

[方法归纳]　解决二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a（x－m）2＋n（a≠0）的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x＝m，分三个类型：

①顶点固定，区间固定；

②顶点含参数，区间固定；

③顶点固定，区间变动．

　已知二次函数f（x）有两个零点0和－2，且它有最小值－1.

（2）若g（x）与f（x）图象关于原点对称，求g（x）的解析式．

[解]　

（1）由于f（x）有两个零点0和－2，

所以可设f（x）＝ax（x＋2）（a≠0），

这时f（x）＝ax（x＋2）＝a（x＋1）2－a，

由于f（x）有最小值－1，

所以必有解得a＝1.

因此f（x）的解析式是f（x）＝x（x＋2）＝x2＋2x.

（2）设点P（x，y）是函数g（x）图象上任一点，它关于原点对称的点P′（－x，－y）必在f（x）图象上，

所以－y＝（－x）2＋2（－x），

即－y＝x2－2x，

y＝－x2＋2x，

故g（x）＝－x2＋2x.

[方法归纳]　求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程（组）求解是解决此类问题的基本方法．

　2.设函数f（x）＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g（t）．

（1）求g（t）的解析式；

（2）求g（t）的最小值．

（1）f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，顶点坐标为（1,1）．

当t＋1<

1，即t<

0时，函数在[t，t＋1]上为减函数，g（t）＝f（t＋1）＝t2＋1；

当t＋1≥1且t<

1，即0≤t<

1时，g（t）＝f

（1）＝1；

当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数，g（t）＝f（t）＝t2－2t＋2.

所以g（t）＝

（2）画出g（t）的图象如图，由图可知g（t）的最小值为1.

3．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；

（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4,6]上是单调函数．

（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，由于x∈[－4,6]．

所以f（x）在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，

故f（x）的最小值是f

（2）＝－1，又f（－4）＝35，f（6）＝15，故f（x）的最大值是35.

（2）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.

故a的取值范围为（－∞，－6]∪[4，＋∞）．

考点三　二次函数的综合运用　

　若二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1.

（2）若在区间[－1,1]上，不等式f（x）>

2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　

（1）由f（0）＝1，得c＝1.

所以f（x）＝ax2＋bx＋1.

又f（x＋1）－f（x）＝2x，

所以a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x，

即2ax＋a＋b＝2x，所以所以

因此，f（x）＝x2－x＋1.

（2）f（x）>

2x＋m等价于x2－x＋1>

2x＋m，即x2