第二章第5讲二次函数与幂函数Word文件下载.docx

1、（3）零点式f（x）a（xx1）（xx2）（a0）2已知二次函数f（x）ax2bxc对任意实数x都有f（x）f8，且f（2）1，求二次函数f（x）的解析式因为对任意实数x都有f（x）f8，所以二次函数f（x）ax2bxc，当x时，f（x）max8，即二次函数的图象开口向下，且顶点的坐标为.所以令f（x）a28，又f（2）1，所以a281，解之得a4，所以f（x）4（x）284x24x7.3闭区间上的二次函数的最值 二次函数f（x）ax2bxc（a0）在闭区间p，q上的最值只能在x处及区间的两端点处取得，具体如下：当a0时，若xp，q，则f（x）minf，f（x）maxmaxf（p），f（q）；

2、若xp，q，f（x）maxmaxf（p），f（q），f（x）minminf（p），f（q）当a0时，若xp，q，则f（x）maxf，f（x）minminf（p），f（q）；若xp，q，则f（x）maxmaxf（p），f（q），3已知函数f（x）4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值f（x）4（x）22a2，当0，即a0时，函数f（x）在区间0,2上是增函数，f（x）minf（0）a22a2.由a22a23，得a1，又a0，所以a1.当02，即0a4时，f（x）minf2a2，由2a23，得a（0,4），故舍去当2，即a4时，函数f（x）在区间0,2上是减函数，所以f（x）mi

3、nf（2）a210a18，由a210a183，解得a5，因为a4，所以a5.综上所述，a1或a5.1必明辨的1个易错点对于二次函数单调性、最值等研究没有注意自变量的限制条件练一练1已知函数f（x）x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_解析：f（x）（xa）2a2a1，1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a.根据已知条件或或解得a2或a1.答案：2或12必会的2种方法（1）结合二次函数图象，利用数形结合思想解题（2）与二次方程紧密结合，利用函数与方程思想解题练一练2设二次函数f（x）ax22axc在区间0,1上单调递减，且f（m）f（0），则实数m的取

4、值范围是_二次函数f（x）ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f（x）2a（x1）0，x0,1，所以a0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x1.所以f（0）f（2），则当f（m）f（0）时，有0m2.0,23已知二次函数f（x）满足条件f（0）0，f（x5）f（x3），且方程f（x）x有等根（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为m，n和3m,3n？如果存在，求出m，n的值，如果不存在，说明理由（1）因为f（x）是二次函数，故可设f（x）ax2bxc（a0），又f（0）0，所以c0，即f（x）ax2bx.又f（x5）f（x3），所以函数f（

5、x）的对称轴方程为x1，即1.又方程f（x）x有等根，所以在方程ax2bxx中，（b1）20，即b1；所以a，即f（x）x2x.（2）假设存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为m，n和3m,3n，因为f（x）（x1）2，所以3nn，故f（x）在m，n上为增函数，所以又mg（x）；f（x）g（x）；f（x）当x1时，f（x）g（x）；当x（0,1）时，f（x）f（a1）的实数a的取值范围（1）m2mm（m1），mN*，而m与m1中必有一个为偶数，所以m（m1）为偶数所以函数f（x）x（m2m）1（mN*）的定义域为0，），并且在定义域上为增函数（2）因为函数f（x）经过点（2，），所以2

6、（m2m）1，即22.所以m2m2.解得m1或m2.又mN*，所以m1.由f（2a）f（a1）得解得1a，所以实数a的取值范围为1，）考点二二次函数的图象与性质（高频考点）已知函数f（x）x22ax1，求f（x）在区间0,2上的最值解函数f（x）x22ax1（xa）21a2的对称轴是直线xa，（1）若a0，f（x）在区间0,2上单调递增，当x0时，f（x）minf（0）1；当x2时，f（x）maxf（2）54a；（2）若0a1，则当xa时，f（x）minf（a）1a2；（3）若1a2，则当x0时，f（x）maxf（0）1；（4）若a2，则f（x）在区间0,2上单调递减，当x0时，f（x）max

7、f（0）1；当x2时，f（x）minf（2）54a.综上，当a0时，f（x）min1，f（x）max54a；当0a1时，f（x）min1a2，f（x）max54a；当1a2时，f（x）min1a2，f（x）max1；当a2时，f（x）min54a，f（x）max1.方法归纳解决二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为ya（xm）2n（a0）的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程xm，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动已知二次函数f（x）有两个零点0和2，且它有最小值1.（2）若g（x）与f（x）图象关于原点对称，求g（x）的解析式解（1）由于f（x

8、）有两个零点0和2，所以可设f（x）ax（x2）（a0），这时f（x）ax（x2）a（x1）2a，由于f（x）有最小值1，所以必有解得a1.因此f（x）的解析式是f（x）x（x2）x22x.（2）设点P（x，y）是函数g（x）图象上任一点，它关于原点对称的点P（x，y）必在f（x）图象上，所以y（x）22（x），即yx22x，yx22x，故g（x）x22x.方法归纳求二次函数的解析式常用待定系数法合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程（组）求解是解决此类问题的基本方法2.设函数f（x）x22x2，xt，t1，tR的最小值为g（t）（1）求g（t）的解析式；（2）求g（t）的最小值（1）f（x）x22x2（x1）21，顶点坐标为（1,1）当t11，即t0时，函数在t，t1上为减函数，g（t）f（t1）t21；当t11且t1，即0t2xm恒成立，求实数m的取值范围解（1）由f（0）1，得c1.所以f（x）ax2bx1.又f（x1）f（x）2x，所以a（x1）2b（x1）1（ax2bx1）2x，即2axab2x，所以所以因此，f（x）x2x1.（2）f（x）2xm等价于x2x12xm，即x2