第二章线性系统的状态空间描述2Word文件下载.docx
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C3
+14s+8
s+2
其中:
C1
=G（s）
•（s+1）
=G（s）
■（s
2）
c1
•（s+4）
6}
动态方程为:
-2
x+
L0
-4
r-1
x
u
（3）N（s）含重实极点的情况
N（s）
当中含重实极点时，不仅可以化为可控、可观测标准型，还可以化为约当形动态
方程。
例如:
3
D（s）=（s—扎）（s—入4）
10
扎
I
Zj4
1匕
—
-•
人n
LiJ
x：
=
y=CiiCi2Ci'
C4
【例2.2.10】已知系统传递函数为G（s）=2s+S"
1，试求约当型状态空间表达式。
（S_2）3
（s
C11
-2）
C12
（s-2）
19
+亡=（s_2）3
132
+r+
（S-2）（s—2）
=[G（s）（s-2）3]
=19
=j【G（s），（s-2）3]
ds
-13
C13
2!
2[G（s）.（s-2）3]ds
s/=2
0-
-01
0u
1j
2X1
+x2
即収；
2X2
+x
X3
=2X3+u
=1913
2]x
=19Xt+13x2+2x3
L3
~n尤M.
s
*^乌?
一弋勺J
—[IP"
>
19
【例2.2.11】已知系统传递函数为G（s）=us
4s+10s+5
G（s）=2
（s+2）（s+1）
c11
_+
（s中2）2
其中：
C11=【G（s）（s+2）2]
4s2+10s+5
——2，试求约当型状态空间表达式。
+5s+8s+4
+—C3—
（s+2）（s+1）
s_2=5
G（S）=C（sl_A）丄B+D
§
2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型
一、状态空间表达式的线性变换
回顾前面几节有关系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统
结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人
为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的随意性，因此会得出不同的系统动态方
程。
实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；
统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；
从系统微分方程或传
递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生
不同的动态方程。
所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。
1、非奇异线性变换
d2
C12=—[G（s）Xs+）ds
态向量x作线性变换，得到另一个新的状态向量x，令
X=Px
变换前系统动态方程为:
=Ax+bu
=cx
变换后系统动态方程为:
式中:
特别提示：
有些教材中，做如下线性变换:
y=CX
两者只是形式不同。
为在讲授过程中X=PX这种线性变换。
2、非奇异线性变换的不变特性
线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方程、传递函数不变。
、系统特征值和特征向量（预备知识）
定义：
设A是一个nxn的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量V，使
AV=Av
则称A为A的特征值，任何满足Av=ZV的非零向量V称为A的对应于特征值A的特征向
1、特征值的计算
【例2.3.1】求下列矩阵的特征值。
*
11
+11兀+6=（兀+1）（k+2）（扎+3）=0
解出特征值A,=-1
=—2，As=—3
2、特征向量的计算
【例2.3.2】求下列矩阵A
的特征向量。
1-1
-116
（2）计算对应于特征值
令：
V11=1，则V1=I
解：
（1）A的特征值在上例中已求出
t\,2—一2，K3—一3
几1=—1的特征向量V1，有A¥
1=扎1V1。
「0
-1011
-6
-11
6
V12
=—1,
L-6
5
虹3■
讪3”
V11
Vl2
V13]T，即有
计算整理后有:
V11+V12-V13
=0
«
—6v11
—10v12
+6v13=0
解出：
V11=V13，
V12=0
—6V11
-11V12
+6V13=0
0订
69]T
二、动态方程的几种标准型
1、动态方程的对角标准型
X=Ax+bu
对于线性系统！
[y=cx
若A的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵使原状态空间表达式变换为对角标准型。
X；
=AX+buy=cx
A=P丄AP
1—
b=P—b，c=cP
其中，/Ji=1,2,
，n）是矩阵A的特征值。
变换矩阵P由A的特征向量P1,P2,
Pn构造，即
P1,P2,
P=【P1P2
Pn分别为对应于特征值
Pn]
Zn的特征向量。
【例233】试将下列动态方程变换为对角标准型。
（1）A的特征值和特征向量已在前面两例中算出:
扎=一1，几2
=一2，K=-3
P1=
，P2=
，P3=
1J
1[
4j[
9j
「仃
P3构造变换矩阵
P,并求
O
（2）用
P2
「111■
*f
■35/2-2"
」P
026
，P-11-
-3-43
P
L149.
Il[
13/2-1
P3匸
（3）计算
A=P丄AP=
，b：
=P=
-3
-1
r-21
C=cP：
=1
于是变换后的动态方程为:
※注意：
如果原状态空间表达式中的
A阵为友矩阵，且有
n个互异实数特征值
/d，A2，…，）・n，那么使
A变换为对角形矩阵的变换阵
P是一个范德蒙
（Vandermonde）矩阵：
■1
1■■■
1■
h
■■■
人2
Am
P=
几
b
r2...
/u2
__2Am
n1
人"
扎2
n1人n
【例234】试将下列动态方程变换为对角标准型。
0X
由于A为友矩阵，并且有互异实特征值，故而变换矩阵可直接写为如下形式:
'
1"
■3
2.5
0.5'
，则p」=
4
9
1.5
0.5
p=
-3u
x=
y=b-1
-2]x
【例235】试将下列动态方程变换为对角标准型。
0-1
2u
|_02
00
x—
采用另一种方法:
（1）系统特征多项式为
det（[J-A）
=0,解出特征值为A1=2，扎2
=一1，
（2）可由A=P」AP
-A
，进而求出P
「P11
P12
P21
P22
P23
|_P31
32
P33
，有
并带入AP
解出pl
「1
（3）计算b，
f2
0I「P11
31
P12
P22
P131「P11
P33
P13
【「2
LP31
JL0
c=cP
L3」
2、动态方程的约当标准型如果A阵具有重实特征根，又可分为两种情况：
1A阵虽有重特征值，但矩阵A仍然有n个独立的特征向量。
一样，仍可以把A划分为对角标准型。
2另一种情况是矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量的个数也低于这种情况，A阵虽不能变换为对角标准型，但可以变换为约当标准型。
这种情况同特征值互异时
n。
对于
（1）约当块和约当阵
的矩阵，称为约当块。
「41I0
0410
0'
_21
由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。
如
（2）设A阵具有
0\00
-2」
m重实特征值几，且只有一个独立实特征向量
Pi与之对应,
则只能使A
化为约当阵J。
仏1
A1-
!
0
1!
、1
A11
1、
\人m+
»
An
Pm十
Pm
Pn
J=
式中P2，P3
Pm是的广义实特征向量，满足:
「扎
【例2.3.6】试将下列动态方程变换为约当标准型。
L1
L2
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