泰州三模高三数学答案.docx
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泰州三模高三数学答案
2019～2020学年度第二学期调研测试
高三数学答案
一、填空题
1.2.3.4.5.
6.7.8.9.10.
11.12.13.14.
二、解答题
15.（本题满分14分）
证明：
（1）在中，因为分别是的中点，
所以，……………2分
因为，，
所以．……………6分
（2）因为，，
所以，
在中，因为，分别是的中点，
所以，……………8分
因为，所以，
又因为，，
所以，……………12分
因为，所以．……………14分
16.（本题满分14分）
解：
（1）因为，
所以……………2分
……………4分
当，即时，取最大值，
所以的最大值为，此时的取值集合为．………7分
（2）因为，则，即，
因为，所以，
则，……………10分
所以
.……………14分
17.（本题满分14分）
解：
（1）在中，因为，，
所以，，
所以池内休息区总面积．
……………4分
（2）在中，因为，，
所以，，
由得，……………6分
则池内休息区总面积，；
……………9分
设，，因为
，
又，所以，使得，
则当时，在上单调增，
当时，在上单调减，
即是极大值，也是最大值，所以，
此时．……………13分
答：
（1）池内休息区总面积为；
（2）池内休息区总面积最大时的长为．………14分
18.（本题满分16分）
解：
（1）由题意：
，解得，
所以椭圆的标准方程为．……………4分
（2）显然直线的斜率存在，设为且，
则直线的方程为，即，
联立得，
解得，，所以，
直线的方程为，即，所以，
所以矩形面积，
所以当且仅当时，矩形面积的最大值为．……………11分
（3）若矩形为正方形，则，
即，则，
令，
因为，又的图象不间断，
所以有零点，所以存在矩形为正方形．
……………16分
19.（本题满分16分）
解：
（1）函数是“YZ函数”，理由如下：
因为，则，
当时，；当时，，
所以的极大值，
故函数是“YZ函数”．……………4分
（2）定义域为，，
当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意；
当时，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以的极大值为，
由题意知，解得．……………10分
（3）证明：
，
因为，，则，
所以有两个不等实根，设为，
因为，所以，不妨设，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以的极大值为，……………13分
由得，
因为，，
所以
．
所以函数是“YZ函数”．……………16分
（其他证法相应给分）
20.（本题满分16分）
解：
（1）设等比数列的公比为，则，
当时，，数列不是等比数列，……………2分
当时，因为，所以，所以数列是等比数
列．……………5分
（2）因为恰好是一个等差数列的前项和，设这个等差数列为，公差为，
因为，所以，
两式相减得，
因为，
所以，
所以数列是等差数列．……………10分
（3）因为数列是等差数列，所以，
又因为，所以，
即，则，
又因为数列是等比数列，所以，则，
即，
因为数列各项均为正数，所以，……………13分
则，
即，
又因为数列是等差数列，所以，
即，
化简得，将代入得
，
化简得，所以数列是等差数列．……………16分
（其他证法相应给分）
数学Ⅱ（附加题）
21.A．[选修4-2：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
解：
因为，所以，解得，……………4分
设，则，
即，解得，所以，……………8分
所以.……………10分
B.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
解：
由题：
直线方程即为，
由，得直线的直角坐标方程为，……………4分
设点的坐标为，
点到直线的距离，……………8分
当，即时，取得最大值，
此时点的坐标为.……………10分
C.[选修4-5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
证明：
由柯西不等式，得
………………5分
所以．………………10分
22.（本小题满分10分）
解：
因为平面平面,又，
即，因为，，平面,
由四边形为边长为2的正方形,
所以两两互相垂直．
以为坐标原点，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分
由平面且,
（1）,，
则,
所以和所成角的余弦值为.……………5分
（2）,,设平面的一个法向量为，
由,取,得,
平面的一个法向量为,
由二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.……10分
23.（本小题满分10分）
解：
（1）的所有排列为，
因为，所以对应的分别为，所以；……………3分
（2）（i）设个不同数的某一个排列为，
因为，所以为奇数，
而为偶数，所以不存在使得；……………5分
（ii）因为，即，
又由（i）知不存在使得，
所以；
所以满足的最大下标即满足
且，
考虑排列的对应倒序排列，
即，,
由题意知，
则；……………8分
又，这个不同数共有个不同的排列，可以构成个对应组合，
且每组中，所以．……………10分
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