1、泰州三模高三数学答案20192020学年度第二学期调研测试 高三数学答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题 15.(本题满分14分)证明:(1)在中,因为分别是的中点,所以, 2分因为,所以 6分(2)因为,所以,在中,因为,分别是的中点,所以, 8分因为,所以,又因为,所以, 12分因为,所以 14分16.(本题满分14分)解:(1)因为,所以 2分 4分 当,即时,取最大值,所以的最大值为,此时的取值集合为7分(2)因为,则,即,因为,所以,则, 10分所以. 14分17.(本题满分14分)解:(1)在中,因为
2、,所以,所以池内休息区总面积 4分(2)在中,因为,所以, ,由得, 6分则池内休息区总面积,; 9分设,因为,又,所以,使得,则当时,在上单调增,当时,在上单调减,即是极大值,也是最大值,所以,此时 13分答:(1)池内休息区总面积为;(2)池内休息区总面积最大时的长为14分 18.(本题满分16分)解:(1)由题意:,解得,所以椭圆的标准方程为 4分(2)显然直线的斜率存在,设为且,则直线的方程为,即,联立得,解得,所以,直线的方程为,即,所以,所以矩形面积,所以当且仅当时,矩形面积的最大值为11分(3)若矩形为正方形,则,即,则 ,令,因为,又的图象不间断,所以有零点,所以存在矩形为正方
3、形16分 19.(本题满分16分)解:(1)函数是“YZ函数”,理由如下:因为,则,当时,;当时,所以的极大值,故函数是“YZ函数” 4分(2)定义域为, ,当时,函数单调递增,无极大值,不满足题意;当时,当时,函数单调递增, 当时,函数单调递减,所以的极大值为,由题意知,解得 10分(3)证明: ,因为,则,所以有两个不等实根,设为,因为,所以,不妨设,当时,则单调递增;当时,则单调递减,所以的极大值为, 13分由得,因为,所以所以函数是“YZ函数” 16分(其他证法相应给分)20.(本题满分16分)解:(1)设等比数列的公比为,则,当时,数列不是等比数列, 2分当时,因为,所以,所以数列是
4、等比数列 5分(2)因为恰好是一个等差数列的前项和,设这个等差数列为,公差为,因为,所以,两式相减得,因为,所以,所以数列是等差数列 10分(3)因为数列是等差数列,所以,又因为,所以,即 ,则,又因为数列是等比数列,所以,则,即,因为数列各项均为正数,所以, 13分则,即,又因为数列是等差数列,所以,即,化简得,将代入得,化简得,所以数列是等差数列 16分(其他证法相应给分)数学(附加题)21. A 选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)解:因为,所以,解得,4分设,则,即,解得, 所以, 8分所以. 10分 B.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)解:由题:直线方程即为,由
5、,得直线的直角坐标方程为,4分设点的坐标为,点到直线的距离,8分当,即时,取得最大值,此时点的坐标为. 10分C.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)证明:由柯西不等式,得 5分所以 10分22.(本小题满分10分)解:因为平面平面,又,即,因为, 平面,由四边形为边长为2的正方形,所以两两互相垂直以为坐标原点,为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.2分由平面且,(1),,则,所以和所成角的余弦值为. 5分(2),设平面的一个法向量为,由 ,取,得,平面的一个法向量为,由二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.10分23.(本小题满分10分)解:(1)的所有排列为,因为,所以对应的分别为,所以; 3分(2)(i)设个不同数的某一个排列为,因为,所以为奇数,而为偶数,所以不存在使得; 5分(ii) 因为,即,又由(i)知不存在使得,所以;所以满足的最大下标即满足且,考虑排列的对应倒序排列,即,,由题意知,则; 8分又,这个不同数共有个不同的排列,可以构成个对应组合,且每组中,所以 10分
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