六年级上册奥数试题第6讲奇偶数 全国通用含答案.docx

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六年级上册奥数试题第6讲奇偶数全国通用含答案

第6讲  奇偶数

知识网络

整数按照能不能被2整除，可以分为两类：

（1）能被2整除的整数叫做偶数，例如

0，2，4，6，8，10，12，14，16，…

（2）不能被2整除的整数叫做奇数，例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，…

整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。

相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。

因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为（2n+l）的形式，其中n为整数。

每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。

重点·难点

奇偶数有如下一些重要性质：

（l）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。

反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。

任意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。

（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。

反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。

（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。

奇数肯定不能被偶数整除

（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

学法指导

如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

经典例题

[例]1有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m－1）只杯子。

经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？

思路剖析

当m是奇数时，（m－l）是偶数。

如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。

一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m－1）即偶数只杯子。

无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。

当m是偶数时，（m－1）是奇数。

为了直观，我们先从m=4的情形入手观察，在表1中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。

翻转情况如表1。

表1

初始状态

第一次翻转

*

第二次翻转

*

第三次翻转

*

第四次翻转

*

由表1看出，只要翻转4次，并且依次保持第1、2、3、4只杯子不动，就可达到要求。

一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。

对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。

要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，…，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。

解答

m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。

当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子都不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。

答：

经过若干次翻转，能使杯口全部朝上。

［例2］图1是半张中国象棋盘。

棋盘上已放有一个棋子“马”。

众所周知，马是走“日”字的。

请问：

这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

思路剖析

为方便研究，如图2所示先在棋盘各交点处相间标上○和●。

图中共有22个○和23个●。

因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。

现在马在○点，要跳回这一点，跳偶数步，可是棋盘上共有23+22＝45（个）点。

故这只“马”不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。

［例3］能否把1，l，2，2，3，3，…，10，10这20个数排成一行，使两个1之间夹这20个数中的一个数，两个2之间夹这20个数中的两个数……两个10之间夹着这20个数中的10个数？

思路剖析

假设已按题目要求排成一行，并按1，2，3，…，20编号：

1、2、3…6…8…1415…20。

原数：

…，…，8，…，5，…，5，8，…不难看出，在两个相等偶数间插入偶数个数，这两个偶数编号的奇偶性是不同的，必定一奇一偶（8的编号是6、15）。

解答

在两个相等奇数间插入奇数个数，这两个奇数的编号的奇偶性相同，同奇或同偶（5的编号是8、14），这样20个数中有5对偶数，占去了5个奇编号和5个偶编号。

还有5对奇数，每对奇数的编号必是同奇式同偶，因此占用的奇编号的个数一定是偶数个，而只剩下5个奇编号，奇数不等于偶数，所以无法按题目要求排成。

点津

如果是n对，即1，l，2，2，…，n，n按题目要求排。

当n被4除余1或余2时，无法排成。

当n被4整除或被4除余3时，可以按要求排出。

[例4]已知a、b、c中有一个是1997，一个是1998，另一个是1999，试判断（a-1）×（b-2）×（c-3）的奇偶性。

解答

☆解法一：

三个已知数中有一个偶数，两个奇数，那么对a来说，就有两种可能：

a为奇数或a为偶数。

（1）如果a为奇数，那么a－l为偶数，乘积也为偶数；

（2）如果a为偶数，因为三个已知数中只有一个偶数，所以此时b，c均为奇数，根据“奇数-奇数=偶数”可知c-3为偶数，所以乘积是偶数。

综合上述，（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶数。

☆解法二：

如果我们判断出各个因数全为奇数，那么其积为奇数；因数中如果有一个是偶数，那么其积为偶数。

三个因数如果全为奇数，那么三个因数的和应为奇数。

现在来计算三个因数的和，看看是奇数还是偶数？

（a-1）+（b-2）+（c-3）

=a+b+c-6

=1997+1998+1999-6是偶数，所以三个因数（a-1）、（b-2）、（c-3）不全是奇数，即（a-l）、（b-2）、（c-3）中至少有一个是偶数。

所以乘积（a-1）×（b-2）×（c-3）一定是偶数。

☆解法三：

我们从1997、1998、1999、1、2、3这六个数中来看奇偶情况，共有4个奇数，现在把它们放进3个括号中作减法时，必有两个奇数属于同一个括号，根据“奇数-奇数=偶数”可知这个括号为偶数，这样，3个括号的乘积也必为偶数。

点津

分析三中有一句话“把4个奇数放进3个括号中作减法时必有两个奇数属于同一个括号”，这是什么原因？

——这里运用了抽屉原理。

形象地说法是：

把10个苹果放进9个抽屉中，那么必有一个抽屉至少放了2个苹果。

[例5]设沿江有A1、A2、A3、A4、A6、A6六个码 头，相邻两码头间的距离相等。

早晨有甲、乙两船从A1出发，各自在这些码头间多次往返运货。

傍晚，甲船停泊在A6码头，乙船停泊在A1码头。

求证：

无论如何，两船的航程总不相等（假定船在相邻两码头间航行时，中途不改变航向）。

思路剖析

六个码头将A1到A6这段水路分成5个小段，设每段水路的长为a，由于相邻两码头间的距离相等，故往返的距离为a的偶数倍。

证明

乙船早晨从Al出发，傍晚又回到这儿，往返每小段的水路总是相同的，因此，乙船的航程是a的偶数倍。

而甲船从A1出发，傍晚到达A6，甲船的航程是从A1到A6再加上各码头之间的往返路程，即5a+（a的偶数倍）=a的奇数倍。

由于a的偶数倍总不等于a的奇数倍，故甲、乙两船的航程总不相等。

[例6]甲袋中放着1997个白球和1000个黑球，乙袋中放着2000个黑球。

小强每次从甲袋中随意摸出两个球放在外面。

如果摸出的两个球颜色相同，小强就从乙袋里取出一个黑球放到甲袋；如果摸出的两个球颜色不同，小强就将白球放回甲袋。

小强就这样从甲袋中摸了2995决后甲袋中还剩几个球？

它们各是什么颜色？

思路剖析

为了求出剩几个球，各是什么颜色，关键是弄清每摸一次，甲袋中球的数目变化情况（见表2）。

表2

所摸两球的颜色

甲袋球数的变化

白球数

黑球数

总球数

2白

减少2

增加1

减少1

2黑

不变

减少1

减少1

1白1黑

不变

减少1

减少1

可见，每摸一次，不管摸出的两球颜色如何，甲袋中球由总数必减少1，这就可求出摸若干次后剩多少球；甲袋中原有球数是奇数，每次取出的白球数是偶数（2或0），由“奇数-偶数=奇数”知，最后剩的白球数是奇数，结合所剩总球数就能如知所剩球的颜色。

解答

根据题意，不管小强每次换出的两球同色还是异色，每摸一次甲袋的总球数都减少1个，所以摸了2995次后甲袋还剩球1997+1000-2995＝2（个）。

每摸一次，甲袋的白球数或者不变，或者减少2，因为原有白球数1997是奇数，所以每次换后甲袋所剩白球数总是奇数，不超过2的奇数只能是1，可见最后所剩的两个球是一白一黑。

答：

甲袋中还剩两个球，且一白一黑。

［例7］某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位。

把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。

问：

让这25个同学都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？

思路剖析

为了便于分析，我们可借助于图3，且用黑白染色帮助分析。

我们把每一个黑、白格看做是一个座位。

从图3中可知，在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；在白格“座位”上的同学要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上。

因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。

解答

从图3可知：

黑色座位有13个，白色座位有12个，13≠12，因此，不可能使每个座位的人换到邻座位。

点津

本题的解法采用了黑白两色间隔染（着）色的办法。

因为整数按奇偶分类只有两类，所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色，可以帮助我们较直观地理解和处理问题。

［例8］元旦前夕，同学们相互送贺年卡。

每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？

为什么？

思路剖析

此题初看似乎缺总人数，但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。

解答

由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次，那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。

送贺年卡的人可以分为两种：

一种是送出了偶数张贺年卡的：

他们送出贺年卡总和为偶数。

另一种是送出了奇数张贺年卡的：

他们送出的贺年卡总数等于所有人送出的贺年卡总数减去所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。

他们的总人数必须是偶数，送出的贺年卡总数才为偶数。

所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。

［例9］在图4所示的“十字形”表中，已填入两个数字1与8。

问在其余的格子中能否填满整数，使得横行任相邻两数左边减右边所得之差都相等，使得纵列任相邻两数下面减上面所得之差也都相等。

思路剖析

分析具有上述性质的一列数：

a，a+d，a+2×d，a+3×d，…

右边的减去相邻左边的数其差都等于d，d也是个整数。

无论a的奇偶性如何，a与a+2d的奇偶性总相同。

这样关键在于解决交叉点处的p是否存在。

解答

设交叉点处所填数字为p，那么根据分析所指出的，p应与8的奇偶性相同，也就是p应为偶数；另一方面，p也应与1的奇偶性相同，也就是p应为奇数，这样就产生了相互矛盾的结果。

这个矛盾说明，无论如何在这些格子中填上整数