因式分解公式大全Word文档格式.docx
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二a1+b2+/+2处+2加+2皿
J+沪+C'
1-3abc=\a+b+Q（卅+沪+/-ab-bc-ca）
例1分解因式：
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y）,
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出n，使问题得到解决.
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=（x+2y+m）（x+y+n）
=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn,
.学习参考.
比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3,n=1.所以
原式=（x+2y+3）（x+y+1）.
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.
例2分解因式：
x4-2x3-27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±
1,±
7（7的约数）,经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式.
原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）
=x4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd,
所以有
由bd=7,先考虑b=1,d=7有
所以
原式=（x2-7x+1）（x2+5x+7）.
说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a,c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因
式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地
求根法（因式分解）
我们把形如anxn+an-1xn-1+••+a1x+aO（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式,并用f（x）,g（x），…等记号表示,女口f（x）=x2-3x+2,g（x）=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示.如对上面的多项式f（x）f
（1）=12-3x
我们把形如anxn+an-ixn-1+—+aix+ao（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式,并用f（x）,g（x），…等记号表示,如
f（x）=x2-3x+2,g（x）=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示.如对上面的多项式f（x）
f
（1）=12-3xi+2=0;
f（-2）=（-2）2-3X（-2）+2=12.
若f（a）=0,则称a为多项式f（x）的一个根.
定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根.对于任意多项式f（x）,要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时,即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
的根，贝泌有p是ao的约数,q是an的约数•特别地，当ao=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.
例2分解因式：
x3-4x2+6x-4.
分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数：
±
2,±
4,只有
f
（2）=23-4X22+6X2-4=0,
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1,原式必有因式x-2.
解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）.
原式=（x3-2x2）-（2x2-4x）+（2x-4）
=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）
=（x-2）（x2-2x+2）.
解法2用多项式除法，将原式除以（x-2）,
原式=（x-2）（x2-2x+2）.
说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根.因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.
例3分解因式：
9x4-3x3+7x2-3x-2.
分析因为9的约数有±
3,±
9;
-2的约数有±
1,为：
所以，原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2（9x3-3x-2）+9x2-3x-2
=（9x2-3x-2）（x2+1）
=（3x+1）（3x-2）（x2+1）
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分
数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式f（x）,如果能找到一个一次因
式（x-a）,那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x）,而g（x）是比f（x）低
一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解
了.
双十字相乘法（因式分解）
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些
二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用
十字相乘法分解因式.例如，分解因式
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幕排列，并把
y当作常数，于是上式可变形为
2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3）,可
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f）,我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式
按x降幕排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3）,
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法,分解为
即
-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
原式=[x+（2y-3）:
:
2x+（-11y+1）:
=（x+2y-3）（2x-11y+1）
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2;
（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3;
（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行
因式分解的步骤是：
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图（有两列）;
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上
、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的
例1分解因式：
（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；
（2）x2-y2+5x+3y+4；
（3）xy+y2+x-y-2；
（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.
解
（1）
原式=（x-5y+2）（x+2y-1）.
⑵
原式=（x+y+1）（x-y+4）.
（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成
原式=（y+1）（x+y-2）.
（4）
要求第
ey,第
dx.
0来分解.
原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）.
说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似
笔算开平方
对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，
对于其它数只需模仿即可
例求316.4841的平方根.
第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用
逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.
第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<
3，而（1+1）2=4>
3.
第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.
第四步，找出试商,使（20X初商+试商）X试商不超过第一余数，而20X初商+（试商+1）】X试商+1）则大于第一余数.
第五步，把第一余数减去（20x初商+试商）x试商，并移下第三段数字,组成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.
第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：
17.79
^3,16.48,41
1
20X1=20
2
16
・第一余数
十7
27
1
89
……27X7
20X17=340
48
-第二余数
+
7
347
24
29
347X7
20X177=3540
3
1941…
…第「余数
+9
3549319413549X9
根式的概念
方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为.（n为大于1的自然数）.作为代数式，「称为根式.n称为根指数,a称为根底数.在实数
范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同,符号相反.
算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.
基本性质】由方根的定义，有
（烷y“■畅
国根式运算
乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；
反
过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即
分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除
根式的乘方】’"
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根式化简】
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