概率公式大全Word文档下载推荐.docx
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C,…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，？
为不可能事件。
不可能事件（？
）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；
同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
1关系：
如果事件a的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B:
A=Bo
A、B中至少有一个发生的事件：
AB,或者A+Bo
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示
为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：
AB，或者ABoAB=?
则表示A与B不可能同时发生，称事件
A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
2运算：
结合率:
A（BC）=（AB）CAu（BuC）=（AuB）uC
分配率:
（AB）uC=（AuC）n（BuC）（AuB）nC=（AC）u（BC）
德摩根率：
，
概率的件：
公理化定义
设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P（A）,若满足下列三个条（7）
1°
0<
P（A）,<
1
2°
P（Q）=1
3。
对于两两互不相容的事件，，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P（A）为事件的概率。
/
（8）古典概4
型
）0
•0
设任一事件，它是由组成的，则有
P（A）==
（9）几何概1
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中勺每—个基本事件可以使用—个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,
o其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公I
式
>
（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）
（11）减法公
3（A-B）=P（A）-P（AB）
当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A二Q时，P（）=1-P（B）
（12）条件概I
率
定义设A、B是两个事件，且P（A）>
0,则称为事件A发生条件下，事件B发生
勺条件概率，记为。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P（Q/B）=1P（/A）=1-P（B/A）
（13）乘法公事件A1,A2,式
乘法公式：
•••An，若P（A1A2--An-1）>
0，则有
（14）独立性？
o①两
个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件？
与任何事件都相互独立。
与任何事件都互斥。
②多
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P（AB）=P（A）P（B）;
P（BC）=P（B）P（C）;
P（CA）=P（C）P（A）
并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
那么A、B、C相互独立。
对于门个事件举似
（15）全概
8J111-J-1I|ItAu
设事件满足
公1。
两两互不相容，，
则有
（16）贝叶斯电
，…，及满足
更一般地,
公式
，…，两两互不相容，>
0,1,2,…，，
,
则
i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
通常叫先验概率。
，（，，•••，），通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了-因果II的概率规律，并作出了-由果朔因II的推断。
（17）伯努利
概型
我们作了次试验，且满足
u每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
u次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
U
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影
问的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出
现次的概率，
O
第二章随机变量及其分布
（1）离散型'
随机变量的分布律
殳离散型随机变量的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件
：
X=Xk）的概率为
D（X=xk）=pk,k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给
出：
显然分布律应满足下列条件：
⑴…（2几
（2）连续型'
随机变量的分布密度
殳是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
y
则称为连续型随机变量。
称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：
O
o
（3）离散与连续型随机祇系的作用相类
分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起变量的关似。
（4）分布函数
殳为随机变量，是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间的概率。
分布函数表示随机变量落入区间（y,x］内
的概率。
分布函数具有如下性质：
；
2。
是单调不减的函数，即时，有；
3°
；
4。
，即是右连续的；
5°
对于离散型随机变量，;
对于连续型随机变量，。
（5）八大分（布
）-1分布
P（X=1）=p,P（X=O）=q
二项分布
在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。
事件发生的次数
是随机变量，设为，则可能取值为。
其中，
则称随机变量服从参数为，的二项分布。
记为。
当时，，，这就是（0・1）分布，所以（0・1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量的分布律为
则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P（）。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=X,n-8）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。
几何分布
其中pNO,q=1-po
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）o
均匀分布
设随机变量的值只落在［a,b］内，其密度函数在［a,b］上为常数，即
aWxWb
其他，
则称随机变量在［a,b］上服从均匀分布，记为X〜U（a,b）。
分布函数为
0,x<
a,
1,x>
bo
当aWx1vx2Wb时，X落在区间（）内的概率为
O
指数分布
0,,
其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。
X的分布函数为
J
x<
0。
记住积分公式：
正态分布
设随机变量的密度函数为
其屮、为常数，则称随机变量服从参数为、
高斯（Gauss）分布，记为。
具有如下性质：
r的图形是关于对称的；
当时，为最大值；
若，则的分布函数为
OO
的正态分布或
参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为记为
分布函数为
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
①（・x）=1•①（x）且①（0）=o
如果则~。
其密度函数
（6）分位数
下分位表：
；
上分位表：
。
（7）函数分布
离散型
已知的分布列为
的分布列（互不相等）如下：
若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。
连续型
先利用X的概率密度fX（x）写出丫的分布函数FY（y）=P（g（X）Wy）,再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。
第三章二维随机变量及其分布
（1）联合分
布
如果一维随机向量（X,Y）的所有可能取值为至多叮
列个有序对（x,y）,则称为离散型随机量。
设=（X,Y）的所有可能取值为，且事件｛=｝的概率
为pij,,称
为=（X,Y）的分布律或称为X和丫的联合分布律。
联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
yi
y2
•••
yj
X1
pn
p12
pij
x2
p21
p22
P2j
xi
pi1
这里pij具有下面两个性质：
（1）pij>
0（i,j=1,2,…）;
（2）
瑋型
对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一
个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={（X,Y）|a<
b,c<
y<
d}有
则称为连续型随机向量；
并称f（x,y）为=（X,Y）的
分布密度或称为X和丫的联合分布密度。
分布密度f（x,y）具有下面两个性质：
（1）f（x.y）
（2）二维随
机变量的本质
（3）联合分
布函数
设（X,丫）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X,Y）的分布函数，或称为随机变量X和丫的联合分布
函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函
圾。
分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：
（1）
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
当x2>
x1时，有F（x2,y）nF（x1,y）;
当y2>
y1时,有F（x,y2）>
F（x,y1）；
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分2
薯散型
X的边缘分布为
•
Y的边缘分布为
X的边缘分布密度为
丫的边缘分布密度为
（6）条件分布
器散型
在已知X=
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