南京大学《高等代数》期末考试题及答案汇编Word文档下载推荐.docx

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二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、（）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个

线性空间同构：

（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；

（B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；

（C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；

（D）复数域C作为复数域C上的线性空间。

2、（）设是非零线性空间V的线性变换，则下列命题正确的是：

（A）的核是零子空间的充要条件是是满射；

（B）的核是V的充要条件是是满射；

（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；

（D）的值域是V的充要条件是是满射。

3、（）矩阵可逆的充要条件是：

是一个非零常数；

是满秩的；

是方阵。

4、（）设实二次型（A为对称阵）经正交变换后化为：

，则其中的是：

全是正数；

是A的所有特征值；

不确定。

5、（）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“”，则A的若当

标准形是：

以上各情形皆有可能。

三、是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）

1、（）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且

则。

2、（）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

的矩阵是一对角矩阵。

3、（）同阶方阵A与B相似的充要条件是与

等价。

4、（）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间中，定义线性变换：

（1）求该线性变换在自然基：

下的矩阵A；

（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。

2、

（1）求线性空间中从基到基

的过渡矩阵；

（2）求线性空间中向量在基

下的坐标。

3、在R2中，，规定二元函数：

（1）证明：

这是R2的一个内积。

（2）求R2的一个标准正交基。

五、证明题（每小题10分，共30分）

1、设P3的两个子空间分别为：

证明：

（1）；

（2）不是直和。

2、设是数域P上线性空间V的线性变换，证明

是的不变子空间的兖要条件是

3、已知是n级正定矩阵，证明：

（1）A是正定矩阵；

（2）

参考答案

则A与B的关系是相似关系

2、（A）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个

2、（D）设是非零线性空间V的线性变换，则下列命题正确的是：

3、（B）矩阵可逆的充要条件是：

4、（C）设实二次型（A为对称阵）经正交变换后化为：

5、（A）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“”，则A的若当

1、（×

）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且

2、（√）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

3、（√）同阶方阵A与B相似的充要条件是与

4、（×

）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（√）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

解：

（1）线性变换在自然基下的矩阵是（5分）

（2）因为

所以矩阵A的所有特征值是

解齐次线性方程组

得矩阵A的所有特征向量：

，其中不全为零。

（5分）

（1）因为

所以

即所求的过渡矩阵为（5分）

（2）因为

故

所以在基下的坐标是：

（3）证明：

（4）求R2的一个标准正交基。

（1）证明：

因为是正定矩阵，

所以这个二元函数是R2的一个内积。

（2）解：

考察自然基

它的度量矩阵正是

令：

再令：

则是R2的一个标准正交基。

（2）解法二：

令：

即：

则的度量矩阵是E，从而是R2的一个标准正交基。

2、设P3的两个子空间分别为：

证明：

（1）W1的一个基是：

W2的一个基是：

因为

其中是的生成元的一个极大无关组

从而是的一个基，

所以（5分）

（2）因

即

所以不是直和。

（2）之证法二：

1、作者：

蒋志华《市场调查与预测》，中国统计出版社2002年8月§

11-2市场调查分析书面报告2、设是数域P上线性空间V的线性变换，证明

（充分性）设有

但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。

盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：

如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；

如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。

10元以下□10～50元□50～100元□100元以上□

是的不变子空间。

（5分）

（必要性）设是的不变子空间，

在调查中我们注意到大多数同学都比较注重工艺品的价格，点面氛围及服务。

由（5分）

加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果3、已知是n级正定矩阵，证明：

7、你喜欢哪一类型的DIY手工艺制品？

（1）设A的特征值为

可是创业不是一朝一夕的事，在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症，对我们这些80年代出生的温室小花朵来说，更是难上加难。

故其特征值

我们熟练的掌握计算机应用，我们可以在网上搜索一些流行因素，还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖，为我们小店提供了多种经营方式。

于是A的特征值

3、竞争对手分析所以A是正定矩阵。

（2）因为A的特征值

所以A+2E的特征值

4．WWW。

google。

com。

cn。

大学生政策2004年3月23日