江苏省苏锡常镇四市学年高三教学情况调研二数学试题Word版含详细解析Word文档格式.docx
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3.在平面直角坐标系中,点到抛物线的准线的距离为____.
【答案】4.
先写出抛物线的准线方程,再求点到抛物线的准线的距离.
由题得抛物线的准线方程为x=2,
所以点P(-2,4)到准线的距离为2-(-2)=4.故答案为:
4
(1)本题主要考查抛物线的基本几何性质,意在考查学生抛物线的基础知识的掌握能力.
(2)注意不要把抛物线的方程写成x=2了,最好先画图再写准线方程.
4.一次考试后,从高三
(1)班抽取5人进行成绩统计,其茎叶图如右图所示,则这五人成绩的方差为____.
【解析】分析:
先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.
由题得
所以成绩的方差为
故答案为:
20.8
本题主要考查茎叶图和数据方差的计算,意在考查统计的基础知识的掌握能力.
5.下图是一个算法流程图,若输入值,则输出值的取值范围是____.
先根据程序框图写出函数的解析式,再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.
由题得
所以当x∈[0,1]时,S=1;
当x∈[1,2]时,
综上所述输出值的取值范围是.故答案为:
(1)本题主要考查程序框图功能的阅读和分段函数的值域.
(2)对于分段函数的问题,一般是先分段处理再综合.所以本题先分别求每一段的范围,再求整个函数的值域.
6.欧阳修在《卖油翁》中写到:
“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是____.
根据几何概型的概率公式解答即可.
由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为:
.
本题主要考查几何概型的概率公式,意在考查概率的基础知识的掌握能力及基本的运算能力.
7.已知函数在时取得最大值,则____.
解方程即得解.
由题得故答案为:
本题主要考查三角函数的最值,意在考查三角函数图像性质等基础知识的掌握能力.
8.已知公差为的等差数列的前项和为,若,则____.
【答案】2.
先化简已知,得到再代入化简即得.
,故答案为:
2
本题主要考查等差数列的性质,意在考查等差数列基础知识的掌握能力和基本运算.
9.在棱长为2的正四面体中,,分别为,的中点,点是线段上一点,且,则三棱锥的体积为____.
先把体积转化,再求三棱锥M-BDC的高和底面积,最后代三棱锥的体积公式即得解.
由题得,
由题得AN=
所以.
所以三棱锥M-BDC的高为.
因为
所以
(1)解答本题的关键是体积转化.如果直接求三棱锥的体积,点D到底面的高不是很好计算,所以考虑利用体积变换求体积,由于变到点M时,点M到底面的高计算比较方便,所以转化成求三棱锥M-BDC的体积.
(2)求几何体的体积常用的方法有直接法和体积变换,要根据具体情况,灵活选择.
10.设△的内角,,的对边分别是,且满足,则____.
利用正弦定理化边为角,整理后两边同除以cosAcosB可得解.
acosB﹣bcosA=c,
由正弦定理得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin(A+B)=(sinAcosB+cosAsinB),
整理得sinAcosB=4cosAsinB,
两边同除以cosAcosB,得tanA=4tanB,
故.故答案为:
4
该题考查正弦定理、同角三角函数的关系以及两角和的正弦,考查学生灵活运用公式的能力.
11.在平面直角坐标系中,已知圆,点,若圆上存在点,满足,则点的纵坐标的取值范围是____.
先设,化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.
设点,因为,
即,
因为,所以,
所以,
化简得
因为,所以
点睛:
本题主要考查圆的基础知识,考查函数的思想,意在考查学生圆的基础知识的掌握能力和基本运算能力.
12.如图,扇形的圆心角为90°
,半径为1,点是圆弧上的动点,作点关于弦的对称点,则的取值范围为____.
先建立直角坐标系,再设出点P,Q的坐标,利用已知条件求出P,Q的坐标,再求出的函数表达式,求其最值,即得其取值范围.
详解:
以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴,以OB所在直线作y轴,建立直角坐标系.则A(1,0),B(0,1),直线AB的方程为x+y-1=0,
设P,,
所以PQ的中点,
所以=
设,
所以=,
所以当t=1时函数取最大值1,当t=时函数取最小值.
(1)本题的难点有三,其一是要联想到建立直角坐标系;
其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标,其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域.
(2)本题主要考查利用坐标法解答数学问题,考查直线、圆的方程和三角恒等变换,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力,考查学生的基本运算能力.
13.已知函数若存在实数,满足,则的最大值是____.
根据函数f(x)图象判断a,b,c关系即范围,用c表示出af(a)+bf(b)+cf(c),根据函数单调性求出最大值.
作出f(x)的函数图象如图所示:
∵存在实数a<b<c,满足f(a)=f(b)=f(c),
∴a+b=﹣6,
∴af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c﹣6)lnc,
由函数图象可知:
<c<e2,
设g(c)=(c﹣6)lnc,则=lnc+1﹣,
显然在(,e2]上单调递增,
∵=2﹣<0,=3﹣>0,
∴在(,e2]上存在唯一一个零点,不妨设为c0,
在g(c)在(,c0)上单调递减,在(c0,e2]上单调递增,
又g()=(﹣6)<0,g(e2)=2(e2﹣6)>0,
∴g(c)的最大值为g(e2)=2e2﹣12.
2e2﹣12
(1)本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像;
其二是从图像里能发现a+b=-6,<c<e2;
其三是能够想到构造函数g(c)=(c﹣6)lnc,利用导数求函数的最大值.
(2)本题要求函数的图像和性质掌握的比较好,属于中档题.
14.已知为正实数,且,则的最小值为____.
先通过结合基本不等式求出,再开方得到的最小值.
由题得,
代入已知得,
两边除以得
当且仅当ab=1时取等.
即的最小值为.
本题的难点在要考虑到通过变形转化得到,再想到两边除以得,重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力.
二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图,在四棱锥中,,,点为棱的中点.
(1)若,求证:
;
(2)求证:
//平面.
【答案】
(1)见解析.
(2)见解析.
(1)取的中点,连结,先证明平面,再证明.
(2)先证明平面平面,再证明平面.
证明:
(1)取的中点,连结,
因为,所以△为等腰三角形,所以.
又,所以平面.
因为平面,所以.
(2)由为中点,连,则,
又平面,所以平面.
由,以及,所以,
又,所以平面平面,
而平面,所以平面.
本题主要考查空间位置关系的证明,空间位置关系的证明有两种方法,方法一是利用线面的转化的思想证明,方法二是利用向量的方法证明.两种方法各有特点,要灵活使用.
16.在△中,三个内角,,的对边分别为,设△的面积为,且.
(1)求的大小;
(2)设向量,,求的取值范围.
(1).
(2).
(1)即得.
(2)先求出,再利用三角函数的图像和性质求其取值范围..................................
(1)由题意,有,则,所以.
因为,所以,所以.
又,所以.
(2)由向量,,得
.
由
(1)知,所以,所以.
所以.
所以.即取值范围是.
本题在求的值域时,容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则,函数的问题,定义域优先.只要是处理函数的问题,必须注意定义域优先的原则.
17.(本小题满分14分)
下图(I)是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥的承重情况,研究小组将其抽象成图(II)所示的数学模型.索塔,与桥面均垂直,通过测量知两索塔的高度均为60m,桥面上一点到索塔,距离之比为,且对两塔顶的视角为.
(1)求两索塔之间桥面的长度;
(2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关,可简单抽象为:
某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数).问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小?
并求出最小值.
(1)500米.
(2)两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为.
(1)设,,记,利用和角的正切得到t的方程,解方程即得两索塔之间的距离AC=500米.
(2)设AP=x,点P处的承重强度之和为.先求出,且,再利用导数求最小值.
(1)设,,记,则
,
由,
化简得,解得或(舍去),
所以,.
答:
两索塔之间的距离AC=500米.
(2)设AP=x,点P处的承重强度之和为.
则,且,
即
记,则,
令,解得,
当,,单调递减;
当,,单调递增;
所以时,取到最小值,也取到最小值.
两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为.
本题主要考查和角的正切和导数的应用,意在考查学生的转化能力和运用数学知识解决实际问题的能力.
18.如图,椭圆的离心率为,焦点到相应准线的距离为1,点,,分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点的直线交椭圆于点,交轴于点,直线与直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求直线的方程;
(3)求证:
为定值.
(2)或.
(3)见解析.
(1)由椭圆的离心率