应力波复习资料修改文档格式.docx
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一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。
解
在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F（X,t）,截面X+dX上作用有总力F（X+dx,t）,有
根据牛顿第二定律,有
解之,有
而,故上式可以化为
（a）
对于一维应力纵波,连续可微,记
则
代入（a）式,可得
（b）
因为,,代入（b）式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程:
二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系
（1）
解:
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×
λ+②其中为待定系数,整理可得:
（a）
根据特征线求解方法,特征线特征方程为
解之,得,,即特征线的微分方程为:
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
即
将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:
（2）
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×
λ+②，其中为待定系数,整理可得:
即
（3）
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×
λ，其中为待定系数,整理可得:
（a）
（4）
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×
三、用特征线法求解波的传播。
设半无限长弹性杆初始状态为t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为,用特征线法求解（X,t）平面上AOX和Aot区域的物理量。
OA为经O（0,0）点作的右传波的特征线,将（X,t）平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。
对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:
引入积分常数、、、、、后,可写成
右行波有:
左行波有:
（1）AOX区
在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有
由
（1）
（2）可得：
由初始条件,有,则可解得
由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。
（2）对于Aot区
该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有
沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有
,
此外,由边界条件已给出,即
于是可解得
可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动和以的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。
特征线BC的特征方程可表示为,则有。
由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为
四、波形曲线和时程曲线
一线性硬化材料半无限长杆，应力应变关系如图所示，其中。
在杆的左端处施加如图所示的载荷。
（1）画出图；
（2）画出时刻的波形曲线；
（3）画出m位置的时程曲线。
解：
半无限长杆中弹性波波速：
塑性波速：
产生塑性波的速度，时间。
（图上把关键点的坐标表示清楚，图、波形图和时程图尽量画在一起）
五、弹性波的相互作用
处理原则：
在撞击面上作用力和反作用力；
速度相等；
1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.（做a、b）
作图说明:
两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同;
在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。
（a）
2（5）（7）
由波系图和状态图可得，两杆撞击结束时间为,对应于M点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间时（N点），两杆界面上质点保持静止，并未相互脱离。
而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为，与早已处于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出。
（b）
36v
125
1
2
3
4
t
3杆
2杆
1杆
6
N
5
X
由波系图和状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间，对应于M点，此后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。
而1杆由于应力波在右端面的反射，杆内逐渐获得了正向速度。
当时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面的介质速度由提高至，而此时2杆右端面的介质速度刚好由下降为0，1杆和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。
2、已知两种材料质的弹性杆A和B的Young模量，密度和屈服极限分别为：
、、、、、,试对图中所示情况分别画出X-t图和图，并确定其撞击结束时间、两杆脱开时间。
以及分离之后各自的整体飞行速度。
，
可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率相同，而在状态平面上关系曲线斜率不相等。
（MPa）
v（m/s）
-72
5
（1）
A
B
t（ms）
M
-50
100
X（cm）
2.04.08.0
-4.0
如图示波系图及状态平面图，由于A、B两杆均为弹性杆，故在杆中传播的为弹性波。
A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波，对于被撞的B杆，向右传播一弹性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。
由图可知，当时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处，使界面处质点速度小于零（-0.4m/s），A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端面，从而B杆左端应力卸为0，速度也减为0，两杆碰撞也结束了。
两杆分离后，A杆的速度为-0.4m/s，B杆的平均速度为2.0m/s。
根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程及结果为：
1区：
自然静止区
2区：
3区：
4区：
5区：
6区：
3、假定A和B均为线性硬化材料，已知其材料常数分别为：
、、、、、。
试确定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度为多大？
A、B两杆弹性波速相同，则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。
B杆撞击A杆，如图
（1）所示，撞击杆B屈服极限值较大，要使被撞击的A杆屈服，只需图3区解对应于和即可，这是一种临界状态。
图
（1）则应有
可解得，使得被撞击杆的A杆屈服，最小打击速度为。
（c）A杆撞击A杆，两杆会同时达到屈服，仍如图
（1）所示，有
可解得：
。
5、相同材料的弹性杆,A杆以的速度撞击初始静止靠在一起的B,C,D杆,如图所示，试作出图，确定撞击结束时间,脱开时间及撞击后各杆的运动状态。
作出图和如下图所示.
1（4）
2（5）
图中各区域中的状态量可得:
1区:
B,C,D杆初始状态为,在波阵面未达到之前,为未扰动区域,应有;
2区:
A杆初始状态;
对应图上
3区:
4区:
左行压缩波在A杆左端自由面反射，反射波经过后杆的状态
5区:
右行压缩波在D杆右端自由面反射,反射波经过后杆的状态
或者从图也可以得到各杆最终的运动状态.撞击结束时间,A杆处于静止自然状态;
B杆左端从开始,应力卸载到零,速度也卸载到零;
到时B杆整体处于应力为零,速度为零的状态;
D杆在时整体处于应力为零,以8m/s的速度向右飞出;
C杆在时整体处于应力为零,以8m/s的速度向右飞出.
6、弹性波在自由端和固定端的反射；
7、弹性波在不同界面处的反射和透射；
分析反射波、透射波和入射波之间的关系。
8、冲击波形成的时间和地点。
9、弹塑性波的相互作用；
加载，追赶卸载问题。
10、粘弹性材料Maxwell\Voigt模型的本构方程；
应力松弛、蠕变、延迟回复；
三元体本构方程；
11、一维应变状态；
一维应变平面波的控制方程。
12、对线性硬化、递减硬化材料，当对半无限长杆左端施加不同载荷时，相应的X-t图、图及图的绘制。
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