商务数学52不定积分的性质及基本积分公式Word格式.docx
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证明设是的一个原函数,则,所以
,
(最后一个式子也可这样来证:
).
Properties2(Seep.109)一个函数的导数(或微分)的不定积分等于这个函数加上任意常数,即或.
证明因为是的一个原函数,所以
或.
【Note】Properties1&2告诉我们,求导数或微分的运算(简称微分运算[differentialoperation],以记号“”表示)与求不定积分的运算(简称积分运算[integraloperation],以记号“”表示)是互逆的(即微分运算与积分运算互为逆运算[inverseoperation]).当记号“”与“”连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数.
积分运算
微分运算
Properties3(Seep.110)被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外,即(为非零常数).
证明因为,由不定积分定义,得
.
Properties4(Seep.110)两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和,即
证明因为
.由不定积分定义,有
【Note】此性质可以推广到有限多个函数代数和的情形,即
2.2基本积分公式
如前所述,由于求不定积分的积分运算与求导数的微分运算互为逆运算,所以不定积分的基本公式可由导数的基本公式直接写出:
⑴(为常数)
⑵()
⑶
⑷
⑸(>,)
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
⒀(<)
(<)
⒁
⒂(>)
(>)
【Note】关于公式,我们作如下说明:
显然,当>时,有;
而当<时,有.总之,不论>或<,恒有,故.
我们知道,求导数的工具有二:
基本导数公式和求导数的法则(四则运算求导法则、复合运算求导法则).现在,也许有的同学会想,我们已经有了基本积分公式,要是再掌握了求积分的法则(四则运算求积分法则、复合运算求积分法则)不就可以求出任何一个函数的不定积分了吗?
真要是这样就好了,可惜这是做不到的.第一是没有通用的求积分的法则(没有两函数之积[商]的求积分法则也没有复合运算的求积分法则).第二是有些函数的不定积分是算不出来的.这里所说的“算不出来”(cannotbecalculated)是指函数的原函数存在(从而)但不能表为有限形式(cannotformalimitedformof,即不是初等函数).比如由于函数是初等函数,从而存在,但数学上可以证明的原函数不是初等函数,所以是“算不出来”的(还有很多形式上看并不复杂的积分,如,,,,等,也都是“算不出来”的).
求
导
数
运
算
求导公式
基本导数公式(√)
求导法则
四则运算求导法则(√)
复合运算求导法则(√)
积
分
积分公式
基本积分公式(√)
积分法则
四则运算积分法则(?
)
复合运算积分法则(×
初等函数
求导数
导数均为初等函数
(均可以表为有限形式)
均能算出来
求积分
积分或非初等函数
(或不能表为有限形式)
或算不出来
这样看来,积分运算比微分运算要难得多(就像减法运算比加法运算难、除法运算比乘法运算难、开方运算比乘方运算难).原因就在于“”是“”的逆运算(就像“”是“”的逆运算、“”是“”的逆运算、“”是“”的逆运算,逆运算都比原运算难).那么,为什么逆运算比原运算要难呢?
其实,根本原因在于,加法运算、乘法运算、乘方运算、微分运算这些原运算的定义都是构造性的(constructive[不仅告诉“是什么”,而且告诉“怎样求”]),而减法运算、除法运算、开方运算、积分运算这些逆运算的定义都是非构造性的(nonconstructive[仅仅告诉“是什么”,而未告诉“怎样求”]).比如,“导数”的定义就是构造性的:
,定义不仅告诉我们什么是导数,同时还告诉我们如何求导数;
而“不定积分”的定义则是非构造性的:
如果,那么,定义本身只是告诉我们什么是不定积分(所有原函数),而并未告诉我们如何求不定积分(即如何求原函数).
原运算
易
加法运算
乘法运算
乘方运算
构造性定义
减法运算
除法运算
开方运算
非构造性定义
逆运算
难
积分运算由于其定义的非构造性,先天性地决定了它比微分运算这种定义为构造性的运算要难得多,复杂得多,对此我们要有足够的心理准备.当然,尽管难,我们也不必太“畏难”,我们还是有很多办法来求不定积分的.在下一节中,我们将学习到不定积分的基本运算方法.这里先告诉大家,在本课程中,我们不会遇到“算不出来”的不定积分.
特别需要提醒大家的是,做为逆运算,积分学的熟练程度在很大程度上取决于微分学的熟练程度——就像不知道就不可能会知道一样,不知道也就不可能会知道.所以,即使我们现在已开始学习积分学的内容,大家还是要进一步熟悉微分学的内容.
最后要强调一点,不仅孤立地看,“不定积分”是本课程的一个重点内容,而且它对后续内容(Chapter6,即“定积分”)的学习也至关重要.