商务数学52不定积分的性质及基本积分公式Word格式.docx

1、证明 设是的一个原函数，则，所以 ，（最后一个式子也可这样来证：）.Properties 2（See p.109）一个函数的导数（或微分）的不定积分等于这个函数加上任意常数，即 或.证明 因为是的一个原函数，所以或.【Note】 Properties 12告诉我们，求导数或微分的运算（简称微分运算differential operation，以记号“”表示）与求不定积分的运算（简称积分运算integral operation，以记号“”表示）是互逆的（即微分运算与积分运算互为逆运算inverse operation）.当记号“”与“”连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数. 积分运算微分运

2、算Properties 3（See p.110）被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外，即（为非零常数）.证明 因为,由不定积分定义，得.Properties 4（See p.110）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即证明 因为.由不定积分定义，有【Note】此性质可以推广到有限多个函数代数和的情形，即2.2 基本积分公式如前所述，由于求不定积分的积分运算与求导数的微分运算互为逆运算，所以不定积分的基本公式可由导数的基本公式直接写出： （为常数） （） （，） （） （） （） （）【Note】关于公式，我们作如下说明：显然，当时，有；而当时，有.总之，不论或，恒有，

3、故.我们知道，求导数的工具有二：基本导数公式和求导数的法则（四则运算求导法则、复合运算求导法则）.现在，也许有的同学会想，我们已经有了基本积分公式，要是再掌握了求积分的法则（四则运算求积分法则、复合运算求积分法则）不就可以求出任何一个函数的不定积分了吗？真要是这样就好了，可惜这是做不到的.第一是没有通用的求积分的法则（没有两函数之积商的求积分法则也没有复合运算的求积分法则）.第二是有些函数的不定积分是算不出来的.这里所说的“算不出来”（can not be calculated）是指函数的原函数存在（从而）但不能表为有限形式（can not form a limited form of,即不是

4、初等函数）.比如由于函数是初等函数，从而存在，但数学上可以证明的原函数不是初等函数，所以是“算不出来”的（还有很多形式上看并不复杂的积分，如，等，也都是“算不出来”的）.求导数运算求导公式基本导数公式 （）求导法则四则运算求导法则（）复合运算求导法则（）积分积分公式基本积分公式 （）积分法则四则运算积分法则（？）复合运算积分法则（初等函数求导数导数均为初等函数（均可以表为有限形式）均能算出来求积分积分或非初等函数（或不能表为有限形式）或算不出来这样看来，积分运算比微分运算要难得多（就像减法运算比加法运算难、除法运算比乘法运算难、开方运算比乘方运算难）.原因就在于“”是“”的逆运算（就像“”是“

5、”的逆运算、“”是“”的逆运算、“”是“”的逆运算，逆运算都比原运算难）.那么，为什么逆运算比原运算要难呢？其实，根本原因在于，加法运算、乘法运算、乘方运算、微分运算这些原运算的定义都是构造性的（constructive不仅告诉“是什么”，而且告诉“怎样求”），而减法运算、除法运算、开方运算、积分运算这些逆运算的定义都是非构造性的（non constructive仅仅告诉“是什么”，而未告诉“怎样求”）.比如，“导数”的定义就是构造性的：，定义不仅告诉我们什么是导数，同时还告诉我们如何求导数；而“不定积分”的定义则是非构造性的：如果，那么，定义本身只是告诉我们什么是不定积分（所有原函数），而并

6、未告诉我们如何求不定积分（即如何求原函数）.原运算易加法运算乘法运算乘方运算构造性定义减法运算除法运算开方运算非构造性定义逆运算难积分运算由于其定义的非构造性，先天性地决定了它比微分运算这种定义为构造性的运算要难得多，复杂得多，对此我们要有足够的心理准备.当然，尽管难，我们也不必太“畏难”，我们还是有很多办法来求不定积分的.在下一节中，我们将学习到不定积分的基本运算方法.这里先告诉大家，在本课程中，我们不会遇到“算不出来”的不定积分.特别需要提醒大家的是，做为逆运算，积分学的熟练程度在很大程度上取决于微分学的熟练程度就像不知道就不可能会知道一样，不知道也就不可能会知道.所以，即使我们现在已开始学习积分学的内容，大家还是要进一步熟悉微分学的内容.最后要强调一点，不仅孤立地看，“不定积分”是本课程的一个重点内容，而且它对后续内容（Chapter 6，即“定积分”）的学习也至关重要.