高考数学理一轮复习题库73二元一次不等式组与简单的线性规划问题Word文档下载推荐.docx

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所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

3.重要结论

画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

（1）直线定界：

不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

（2）特殊点定域：

若直线不过原点，特殊点常选原点；

若直线过原点，则特殊点常选取（0,1）或（1,0）来验证．

【知识拓展】

1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：

对于Ax＋By＋C>

0或Ax＋By＋C<

0，则有

（1）当B（Ax＋By＋C）>

0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；

（2）当B（Ax＋By＋C）<

0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．

2．最优解和可行解的关系：

最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．（　√　）

（2）不等式Ax＋By＋C>

0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（　×

　）

（3）点（x1，y1），（x2，y2）在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）>

0，异侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）<

0.（　√　）

（4）第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<

0表示．（　√　）

（5）线性目标函数的最优解是唯一的．（　×

（6）最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．（　√　）

（7）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（　×

1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是（　　）

A．（0,0）B．（－1,1）

C．（－1,3）D．（2，－3）

答案　C

解析　把各点的坐标代入可得（－1,3）不适合，故选C.

2．（教材改编）不等式组表示的平面区域是（　　）

解析　用特殊点代入，比如（0,0），容易判断为C.

3．（2016·

北京）若x，y满足则2x＋y的最大值为（　　）

A．0B．3C．4D．5

解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，

由得所以A点坐标为（1,2），可得2x＋y的最大值为2×

1＋2＝4.

4．（教材改编）已知x，y满足则z＝－3x＋y的最小值为________．

答案　0

解析　画出可行域为阴影部分．

z＝－3x＋y，即y＝3x＋z过交点A时，z最小．

解得

∴zmin＝－3×

1＋3＝0.

5．（教材改编）投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；

投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________（用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨）．

答案　

解析　用表格列出各数据

A

B

总数

产品吨数

x

y

资金

200x

300y

1400

场地

100y

900

所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.

题型一　二元一次不等式（组）表示的平面区域

命题点1　不含参数的平面区域问题

例1　

（1）不等式（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（　　）

（2）不等式组所表示的平面区域的面积等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0⇒

或画出平面区域后，只有C符合题意．

（2）由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A（0，），B（1,1），C（0,4），则△ABC的面积为×

1×

＝.故选C.

命题点2　含参数的平面区域问题

例2　

（1）（2015·

重庆）若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（　　）

A．－3B．1C.D．3

（2）若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是______________________________．

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，

C点横坐标xC＝－2m，

∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×

（2＋2m）×

（1＋m）－×

＝＝，

∴m＝1或m＝－3，

又∵当m＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m＝1.

（2）不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．

因为A（1,1），B（0,4），所以AB中点D.

当y＝kx＋过点时，＝＋，

所以k＝.

思维升华　

（1）求平面区域的面积：

①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．

（2）利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．

（1）若函数y＝2x图象上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的最大值为（　　）

A.B．1

C.D．2

（2）已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（　　）

A．1B．－1C．0D．－2

答案　

（1）B　

（2）A

解析　

（1）在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示．

由图可知，当m≤1时，

函数y＝2x的图象上存在点（x，y）满足约束条件，

故m的最大值为1.

（2）由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．

①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．

②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．

题型二　求目标函数的最值问题

命题点1　求线性目标函数的最值

例3　（2016·

全国丙卷）若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

解析　满足约束条件的可行域为以A（－2，－1），B（0,1），C为顶点的三角形内部及边界，则y＝－x＋z过点C时z取得最大值.

命题点2　求非线性目标函数的最值

例4　实数x，y满足

（1）若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

（2）若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．

解　由作出可行域，

如图中阴影部分所示．

（1）z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，

因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（直线OA的斜率不存在，即zmax不存在）．

由得B（1,2），

∴kOB＝＝2，即zmin＝2，

∴z的取值范围是[2，＋∞）．

（2）z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．

因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.

由得A（0,1），

∴OA2＝（）2＝1，OB2＝（）2＝5，

∴z的取值范围是[1,5]．

引申探究

1．若z＝，求z的取值范围．

解　z＝可以看作过点P（1,1）及（x，y）两点的直线的斜率．

∴z的取值范围是（－∞，0]．

2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．

解　z＝x2＋y2－2x－2y＋3

＝（x－1）2＋（y－1）2＋1，

而（x－1）2＋（y－1）2表示点P（1,1）与Q（x，y）的距离的平方PQ2，PQ＝（0－1）2＋（2－1）2＝2，

PQ＝（）2＝，

∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.

命题点3　求参数值或取值范围

例5　

（1）已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.

（2）已知a>

0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.

答案　

（1）5　

（2）

解析　

（1）显然，当m<

2时，不等式组表示的平面区域是空集；

当m＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A（1,1）．此时zmin＝1－1＝0≠－1.

显然都不符合题意．

故必有m>

2，此时不等式组所表示的平面区域如图所示，

平面区域为一个三角形区域，

其顶点为A（1,1），B（m－1,1），C（，）．

由图可知，当直线y＝x－z经过点C时，z取得最小值，

最小值为－＝.

由题意，得＝－1，解得m＝5.

（2）作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）．

易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，

由得

∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.

思维升华　

（1）先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．

（2）当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：

①表示点（x，y）与原点（0,0）的距离，表示点（x，y）与点（a，b）的距离；

②表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

（3）当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．

（1）变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于（　　）

A．－2B．－1C．1D．2

（2）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）C　

（2）[1，]

解析　

（1）对于选项A，当m＝－2时，可行域如图①，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；

对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图②，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；

对于选项C，当m＝1时，可行域如图③，当直线y＝2x－z过点A（2,2）时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；

对于选项D，当m＝2时，可行域如图④，直线y＝2x－z与直线O