平行四边形专题讲座含答案Word下载.docx

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（D）4

例2．ABCD是平行四边形，以AC为边在两侧各作一个正三角形ACP,与ACQ。

试证BPDQ为平行四边形。

例3．平行四边形相邻两边长5米和6米，一条对角线长为8米，另一条对角线长为，求k。

例4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，点P在BC上，PE⊥BC交BA的延长线于E，交AC于F。

（1）求证：

2AD=PE+PF；

（2）平移PE，使P点在BC的延长线上，PE交BA的延长线于E，交AC的延长线于F，写出AD，PE，PF满足的关系式，并证明你的结论。

例5．在等腰三角形ABC的两腰AB，AC上分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2,求证：

EF≥1.

例6．如图,在等腰△ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE。

.求证:

∠BAC=100°

.

例7．在平行四边形ABCD的边AB，AD上向外形作两个正方形ABMX，ADNY。

求证：

对角线AC与两正方形的顶点X与Y的联线互相垂直。

平行四边形（专题讲座1答案）

解命题

（1）是假命题。

如图

（1）中的四边形ABCD，它满足命题的条件，∠A=∠C，AB=CD，但它不是平行四边形。

命题

（2）是假命题。

如图

（2），延长等腰△ADE底边ED至任意点O，以O为对角钱的交点作平行四边形ABCE，这时四边形ABCD满足AD=BC且AO=OC，但它不是平行四边形。

命题（4）也是假命题，如图（3），四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，BD垂直平分AC，但四边形ABCD不是平行四边形。

下面证明命题（3）是真命题。

如图（4），四边形ABCD中，∠BAD=∠DCB，且命题。

如图（4），四边形ABCD中，∠BAD=∠DCB，且OB=OD，以O为中心，将△ABD逆时针旋转180°

。

∵　OB=OD,∴D与重合,B与D重合,点A与射线OC上的点A′不是C,则∠BA′D＞∠BCD。

（A′在线段OC上，非点C），或∠BA′D＜∠BCD

（A′在线段OC的延长线上）都与∠BA′D=∠BAD=∠BCD矛盾，所以A′即为C，即OA=OA′=OC，所以A′即为点C，即OA=OA′=OC，所以四边形ABCD是平行四边形。

故选（A）。

例2．ABCD是

平行四边形，以AC为边在两侧各作一个正三角形ACP,

ACQ。

证明因△ACP与△ACQ都是正三角形，

于是PA=AC=CQ=PC=AQ。

故四边形PAQC为平行四边形。

连结PQ交AC于O。

则O点是AC的中点也是PQ的中点。

连结BD，因ABCD是平行四边形，故BD与AC互相平分，即BD的中点也是O。

因为PO=QO，BO=DO，所以BPDQ为平行四边形。

解我们先来证明下面的的“平行四边形定理”：

平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和。

右图中ABCD是平行四边形。

作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足为E，F。

显然△BCE≌△ADF，则BE=AF，CE=DF。

故BD2+AC2=BF2+FD2+AE2+CE2

=（AB+AF）2+FD2+（AB-BE）2+CE2

=（AB+BE）2+CE2+（AB-BE）2+CE2

=2（AB2+BE2+CE2）=2（AB2+BC2）.

下面运用这个性质解答原题，（）2+82=2（52+62）,k=58.

解

（1）如图，延长AD至A’,使A’D=AD,连结A’C,延长EF交A’C于F’.

∵在△ABC中，AB=AC,且AD⊥BC,∴AD平分BC，即BD=CD．

又Rt△ADC≌Rt△A’DC，AC=A’C，∠ACD=∠A’CD，∴△CFF’为等腰三角形，FP=F’P.

又∠CA’D=∠CAD=∠BAD,A’C∥AB,∴四边形AA’F’E是平行四边形，∴AA’=EF’,AA’=2AD,EF’=EP+PF’=EP+PF,

故2AD=PE+PF。

（2）AD、PE、PF满足关系式2AD=PE-PF.

如图,延长AD到A’使A'

D=AD，连接A’C并延长与EF相交于F’．则由

（1）知PF=PF’，且AA'

F'

E是平行四边形，

∴AA’=EF’，2AD=PE-PF’.

证明作平行四边形ABCH，在HC上截取HG=AE，

连结EG，显然四边形AEGH和BEGC也是平行四边形，EG=AH=BC=2。

CG=BE=AB-AE=AC-CF=AF。

在△EAF与△FCG中，AE=CF，∠EAF=∠FCG，

AF=CG，所以△EAF≌△FCG。

于是EF=FG。

因2EF=EF+FG>

EG=2，故EF≥1.

证明由图及已知条件，△ADE中，AD=ED,△ADE

为等腰三角形，其底角∠EAD必为锐角，所以等腰三角形

ABC中，∠BAC为钝角，必是顶角。

所以AB,AC是腰，有

AB=AC。

过C作AD的平行线，与过D所作BC的平行线交于

点F，连结EF,易知BCFD为平行四边形,因此DB=CF,BC=DF,∠EAD=∠ECF.

在△ADE与△CEF中,AD=CE,AE=DB=CF,∠EAD=∠ECF,所以△ADE≌△CEF,于是ED=EF.但是ED=BC=DF，△DEF是个对边三角形，∠EDF=60º

设∠BAC=α，则∠ADF=∠ABC=,∠DAE=180º

-α，∠ADE=180º

-2∠DAE=180º

-2（180º

-α）=2α-180º

.

由∠ADF+∠ADE=∠EFD=60º

得+（2α-180º

）=60º

，解得α=100º

即∠BAC=100°

.。

证明．∵ABMX，ADNY是正方形，ABCD是平

行四边形，

∴AX=AB=DC，AY=AD，∠XAB=∠YAD=90°

，AB∥DC。

∴∠XAY=180º

-∠BAD=∠4，

∴△AXY≌△DCA，∴∠2=∠3，

∵∠1+∠3=90º

，∴∠1+∠2=90º

，∴AH⊥XY。

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