届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学理试题解析文档格式.docx
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由题意，再由集合并集的概念直接计算即可得解.
由题意，
所以．
故选：
D.
本题考查了一元二次不等式的解法和集合并集的运算，属于基础题.
3．已知实数满足则的最大值为（）
A．7B．5C．4D．
A
画出已知约束条件对应的可行域，求出直接，代入目标函数，得到结果．
实数，满足对应的可行域如下图所示：
由解得，经过可行域的时，
目标函数取得最大值．
当，时，，
故的最大值为7，
A．
本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法，属于基础题．
4．某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为，和，则抽奖一次中一等奖的概率为（）
C
由测度比是圆心角的弧度数比求解．
一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为：
，和，
且三等奖对应等圆心角的两个区域，转动一次转盘指针指向位置是等可能的，
抽奖一次中奖的概率．
C．
本题考查几何概型概率的求法，明确测度比是圆心角的弧度数比是关键，属于基础题．
5．已知为圆上任一点，，为直线：
上的两个动点，且，则面积的最大值为（）
A．9B．C．3D．
B
计算出圆上点到直线的最远距离为，利用面积公式即可得解.
由题意知圆的圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最大距离为，
所以的最大值为．
B.
本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.
6．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：
“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？
”其大意为：
现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？
以此计算，第四节竹子的装米量为（）
A．1升B．升C．升D．升
由题意得，由等差数列的性质即可直接得解.
设竹子自下而上的各节容米量分别为，…，
则有，由等差数列的性质可得，所以．
本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.
7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）
A．3B．2020C．3030D．1010
由已知中的程序语句可知：
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
模拟程序的运行，可得
，，，，，
可知，
当时，．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．
8．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，为上靠近点的三等分点，则三棱锥与四棱锥的体积比为（）
根据等积法可知，，再根据点到面的距离等于点到面的距离的，以及，即可求出．
设点到面的距离为，所以点到面的距离等于．
又，所以．而，
故．
B．
本题主要考查等积法的应用，以及棱锥的体积公式的应用，意在考查学生的转化能力，属于基础题．
9．在梯形中，，设，则（）
A．B．
C．D．
利用向量的三角形法则得出，进而求出，最后利用，即可求解
，，
答案选D
本题考查向量的线性运算，属于基础题
10．已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（）
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．
函数，
函数在上有且仅有三个零点，
就是在上有且仅有三个解，则或；
，解得．
D．
本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
11．的展开式中，含项的系数为（）
A．100B．300C．500D．110
转化条件得，则可写出其通项公式，通过分别给、赋值令，即可得解.
则其通项公式为：
，
其中，，则，
所以可取，，此时；
，，此时；
所以项的系数为．
A.
本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.
12．双曲线：
，，为其左､右焦点，线段垂直直线，垂足为点，与交于点，若，则的离心率为（）
A．B．2C．3D．
由题意，所在的直线方程为，求出点，进而求得，代入双曲线的方程化简后得，利用即可得解.
线段垂直直线，，
所在的直线方程为，与直线的交点为，
，为线段的中点，
代入双曲线方程得，得，
．
本题考查了双曲线离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.
二、填空题
13．若复数，则_____.
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
故答案为：
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
14．在一次考试后，为了分析成绩，从1，2，3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为､､，已知来自2班的同学比成绩低，与来自2班的同学成绩不同，的成绩比来自3班的同学高．由此判断，来自1班的同学为______．
由题意先确定C来自2班，再根据“来自2班的同学比成绩低，的成绩比来自3班的同学高”，即可得解.
由题，不是来自2班，不是来自2班，所以来自2班，
又的成绩比来自2班的同学高，的成绩比来自3班的同学高，
所以不能来自3班，只能来自1班.
本题考查了简单的逻辑推理的应用，属于基础题.
15．数列中，其前项和为且，则_____.
9217
首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．
数列中，其前项和为且，①当时，解得．当时，且，②，
②①得，整理得（常数），故数列是以为首项为公差的等差数列，
所以，整理得
所以①，②，
①②得，整理得，
本题考查的知识要点：
数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.
16．若函数在其定义域上的最小值为0，则最小值为_____.
由题意，当时，恒成立，不存在最小值.
当时，则存在使得，得到，可得：
．令，利用导数研究其单调性即可得出．
由题意，当时，恒成立，单调递增，∴不存在最小值.
当时，则存在使得，即，使得在上单调递减，在上单调递增，∴，
可得：
令，，
当时，取得极小值：
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，三角形的面积，求．
（1）．
（2）
（1）由题意结合正弦定理得，再由余弦定理可得，即可得解；
（2）由
（1）结合三角形面积公式可得，则利用余弦定理可得，计算即可得解.
（1）由得，
由正弦定理得即，
由可得．
（2）由
（1）知，
则，解得，
又，，
解得．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.
18．如图所示的多面体的底面为直角梯形，四边形为矩形，且，，，，，，分别为，，的中点．
（1）求证：
平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
（1）答案见解析．
（2）
（1）先证明平面，可得，取中点，利用等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面的一个法向量和直线的方向向量，求出两向量夹角的余弦值后利用平方关系即可得解.
（1）证明：
，分别为，的中点，，
四边形为矩形，，
又，，，平面，
平面，平面，，
取中点，连接，，，则，
点，，，同在平面内．
在中，，，为中点，
又，，平面，平面．
（2）由
（1）知，，三条直线两两垂直且交于点，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图．
则，，，，
，分别为，中点，可得，，
，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，可得，，，
所以与平面所成角的余弦值为.
本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面角，属于中档题.
19．移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：
60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；
60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.
（1）完成如下的列联表，并判断是否有的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.
习惯使用移动支付
不习惯使用移动支付
合计（人数）
60岁以上
60岁及以下
200
（2）在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：
每月支付金额
300以上
人数
10
20
30
现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为，求的分布列及数学期望.
附：
，其中.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
（1）列联表见解析，有，理由见解析；
（2）分布列见解析，.
（1）根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；
（2）由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值．
（1）列联表如图：
40
70
90
130
120
80
.
所以有的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.
（2）由
（1）得，所以在抽取的9人中，月支付金额在的有1人，在的为2人，在的为3人，3000以上的为3人
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