最新解析几何中的切线问题资料.docx

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最新解析几何中的切线问题资料

解析几何中的切线问题

解决这类问题的通常做法是用两个待定系数表示出切线的方程，

再通过与圆锥曲线的方程联立得到一个一元二次方程以及判别式等于零这一条件得到两个待定系数的关系。

最后通过其他条件达到解题的目的。

对于圆的切线问题，可以通过圆心到切线的距离等于半径这一条件来求解。

对于有多条切线的问题，我们还可以用切线系方程来解题。

本文将着重介绍运用切线系方程解决切线问题的方法。

首先，我们以2015年湖北卷第21题为例。

【2015高考湖北，理21】一种画椭圆的工具如图1所示．

是滑槽

的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且

，

．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕

转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以

为原点，

所在的直线为

轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线

与两定直线

和

分别交于

两点．若直线

总与椭圆

有且只有一个公共点，试探究：

的面积是否存在最小值？

若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）当直线

与椭圆

在四个顶点处相切时，

的面积取得最小值8.

【解析】（Ⅰ）因为

，当

在x轴上时，等号成立；同理

，当

重合，即

轴时，等号成立.所以椭圆C的中心为原点

，长半轴长为

，短半轴长为

，其方程为

（Ⅱ）

（1）当直线

的斜率不存在时，直线

为

或

，都有

.

（2）当直线

的斜率存在时，设直线

，由

消去

，可得

.因为直线

总与椭圆

有且只有一个公共点，所以

，即

.①

又由

可得

；同理可得

.由原点

到直线

的距离为

和

，可得

.②

将①代入②得，

.当

时，

；当

时，

.因

，则

，

，所以

，当且仅当

时取等号.所以当

时，

的最小值为8.

综合

（1）

（2）可知，当直线

与椭圆

在四个顶点处相切时，

的面积取得最小值8.

下面我们用切线系方程来求解该题第（Ⅱ）题

此题运用切线系方程计算量较小，且不用讨论切线

斜率不存在的情况，大大节省了解题的时间。

像这样在椭圆的切线问题中运用切线系方程解题的例子还有：

下面我们用椭圆的切线系方程来求解该题第

（2）题

此题运用切线方程，可以避免因为漏掉特殊点而失分，且计算量相对较小，计算过程也很简单，不涉及太复杂的技巧。

下面我们用椭圆的切线系方程来解这道题.

The鎻愯ChuaiXi樿ChuaiCongplank綍在用切线系方程解第（3）题之前，我向大家介绍一种快速解第

（2）题的方法。

这个方法设计三角形中角平分线的相关性质。

A

TheYue夌JiangChenュ姪Lu?

The鐮saves崯

TheCongplay珛鎷呬繚鐗╂潈

D

TheChanч噺Luarch

TheLuу埌閫氱煡

The鏀DuoChuaistrandHong數Xuan?

第（3）题仍然可用椭圆的切线系方程快速求解

TheYing樿ChuaiQiЩ

此类问题还有很多，本文就不一一列举。

一般来说，切线系方程在解决椭圆的切线问题时，具有计算量小的特点，有时还可以避免讨论特殊情况，一定程度上减少了失误的可能性。

有关圆的切线问题使用切线系方程并没有明显优势，因为用圆心到直线的距离等于半径这一条件更为简单，大家可以参考

，

，

。

关于抛物线的切线问题也不建议大家用切线系方程求解，具体可以参考

。

关于双曲线的切线问题，出现频率较低，暂不作讨论。

附：

①对于圆

的切线系方程：

，其中点

是圆上任意一点。

TheXiｆ敹LuфZi撶畻②对于椭圆

的切线系方程：

，其中点

是椭圆上任意一点。

③对于双曲线

的切线系方程：

，其中点

是双曲线上任意一点。

（另一种形式的双曲线可以类比得到对应的切线系方程）

④对于抛物线

的切线系方程：

，其中点

是抛物线上任意一点。

（另一种形式的抛物线可以类比得到对应的切线系方程）