普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题解析版文档格式.docx
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2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，毎人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）
1112
A.—B.-C.-D•—
6323
【答案】C
【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
设三位同学分别为A,5C,他们的学号分别为1,2,3,
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，女0（1,3,2）表示A同学拿到1号，〃同学拿到3号，C同学拿到2号.
三人可能拿到的卡片结果为:
（1,2,3）,（1,3,2）,（厶1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,共6种，
其中满足题意的结果有（1,3,2）,（2,1,3）,（3,2,1）,共3种,
31
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：
P=~=~-
62
C.
【点睛】
方法点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列岀时，要做到不重复、不遗漏.
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
3.关于x的方程x'
+ax+Z?
=O,有下列四个命题：
甲：
兀=1是该方程的根；
乙：
x=3是该方程的根；
丙：
该方程两根之和为2；
T：
该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）
A.甲B.乙C.丙D.T
【答案】A
对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程x2+ax+b=0的两根，进而可得出结论.
若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于X的方程x2+cix+b=0的一根为3，
由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1，两根异号，合乎题意：
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则x=l是方程x2+ax+b=0的一根，
由于两根之和为2,则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程x2+cix+b=0的两根为1和3,两根同号，不合乎题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程x2+cix+b=0的两根为1和3,两根之和为4,不合乎题意.
综上所述，甲命题为假命题.
A.
【点睹】
关键点点睹：
本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.
22
4.椭圆+二=1（加>
0）的焦点为人、上顶点为儿若,则〃广+1nr3
川=（）
A.1B.72C.筋D.2
分析岀△FxAF2为等边三角形，可得岀d=2c,进而可得出关于加的等式，即可解得川的值.
在椭圆——+—^=1（/?
/>
0）中，a=J加2+1,b=tn,c=\la2-b2=1♦nr+1nr'
'
如下图所示：
因为椭圆，一+丄1=1（加＞0）的上顶点为点A,焦点为耳、F-所以nr+1nr
\AFt\=\AF2\=a,
•・•ZF{AF2=彳，.•.△F/巧为等边三角形，则引=|£
爲|,即=d=2c=2，因此♦m=・
5・已知单位向量a,方满足a-b=0>
若向量c=y/la+y/2b,则sin〈a,c〉=（）
、.卫
3
一一ac
本题借助COS〈d,C〉=将2=丁方+冋代入化简即可.
a・c
7a2+2b=3・
因为c=J7a+\[2b,所以”|=|J7a+>
/2/?
|=+=（7a
I4FI
所以cos〈丽=凹=冋屁+姮）L仰f+屈J匹=◎
6.（1+才+（1+才+..+（1+才的展开式中F的系数是（）
A.60B.80C.84D.120
【答案】D
（1+打+（1+才+…+（i+才的展开式中/的系数是c；
+c；
+U+…+U，借助
组合公式：
c：
异+c：
=C；
；
：
逐一计算即可.
（l+x）2+（l+x）'
+…+（l+xj，的展开式中/的系数是c；
+C；
+Cj+・・・+C：
因为c；
「+C；
=C阳且c；
=c；
所以c；
=c：
所以C£
+C；
=c：
以此类推，C；
+U+…+&
=（+€；
=©
=学兰=120.
3x2x1
D.
本题关键点在于使用组合公式：
C：
"
+C：
l,以达到简化运算的作用.
7.已知抛物线r=2/u±
三点4（2,2）,B,C,直线AB.AC是圆（x-2）2+y2=169两条切线，则直线BC的方程为（）
A.x+2y+l=0B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0
先利用点A（2,2）求抛物线方程，利用相切关系求切线AB,AC,再分别联立直线和抛物线求出点B、C,即求出直线BC方程.
A⑵2）在抛物线），=2以上，故22=2/?
x2,即p=l,抛物线方程为y2=2x,设过点4（2,2）与圆（x-2）2+y2=HH切的直线的方程为：
y-2=k（x-2）,即kx-y+2-2k=0t则圆心（2,0）到切线的距离〃_：
）：
2_2口=〔,解得
W+1
k=±
\/3»
如图，直线A3：
y—2=^/5（兀—2）,直线AC:
y—2=—>
/5（x—2）.
联立
y-2=^（.r-2）,得3^+（473-14）x+16-8>
/3=0,
y"
=2x
故W厂耳5,由/2得心=害L故儿=迸二仝
y-2=^（x-2）,得3宀（4石+14卜+16+朋=0,y=2x
故w厂吐逼，由心=2得乞=匕婕，故yc=~2^~6
故*+*=23二°
+二2力Z6=r,又由B,C在抛物线上可知,
求圆的切线的方程的求法：
（1）几何法：
设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；
（2）代数法：
设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.
&
已知a<
5且bv4且be4=4e'
\c<
3且ce'
=3e"
则（）
A.c<
b<
aB.b<
c<
aC.a<
bD.a<
C
令/（%）=—,x>
0,利用导数研究其单调性后可得"
b,c的大小.
X
皆1）
因为«
e5=5ea,a<
5,故d>
0,同理b>
0,c>
0,令f（x）=—,x>
0.则/'
（x）=
当0vxv1时，广（x）vO,当X>
1时，广（力>
0,
故/（X）在（0,1）为减函数，在（1,+兀）为增函数，
5a
因为^/e5=5e%d<
5,故二=二，即/（5）=/（«
）,而0<
d<
5,5a
故Ovdvl,同理0<
\,0<
b/（4）=/（Z?
）,/（3）=/（c）
因为/（5）<
/（4）<
/（3）,故/（«
）<
/（/?
/（c）,
所以0
思路点睛：
导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键.
二、多选题
9.已知函数/（x）=xln（l+x）,则（）
A.f（x）在（0,+s）单调递增
B./（X）有两个零点
D.f（x）是偶函数
【答案】AC
根据函数的左义域可判断D,利用函数的导数的正负可判断A,利用导数的几何意义可判断C,根据函数值的情况及零点泄义可判断B.
由f（x）=xln（l+x）知函数的定义域为（一1,2）,
f\x）=ln（l+x）+——,
\+x
当xe（O,+00）时，ln（l+x）>
0、——>
0,f\x）>
0,
故/（X）在（0,+oc）单调递增，A正确；
由/（0）=0,当一1<
X<
0时，ln（l+x）<
0,f（x）=xln（l+x）>
0,
当ln（l+x）>
0,/（x）>
0,所以八x）只有0—个零点，B错误：
线的斜率为-l-ln2,C正确;
由函数的泄义域为（-1,乜），不关于原点对称知，/tv）不是偶函数，D错误.
AC
关键点点睛：
解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求
切线的斜率，属于中档题.
10-设召，3Z3为复数，勺H0.下列命题中正确的是（）
A.若|^2|=|z3h则Z?
=±
Z3B・若勺Z2=Z]Z3,则5=5
C.若Z2=23,则D・若翠2=#『，则勺=zz
【答案】BC
取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.
由复数模的概念可知,|z2|=|^|不能得到乙2=±
?
3,例如S=l+i,Z3=l-i,A错
误：
由Z忆2=Z]?
3可得召（。
一23）=0,因为所以z2-z3=09即5=5、B正确:
因为|孕2|=1©
11乙21，而Z2=Z3,所以IZ21=1Z3HZ21>
所以|可勺|=|z詡'
C正确;
取©
=l+f,z2=\-i,显然满足Z]Z2=|z『，但勺HZ2,D错误.
BC
11.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）
A.AE//CDB.CH//BEC.DG丄BHD.BG丄DE
【答案】BCD
由平而展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.
由正方体的平而展开图还原正方体如图，
由图形可知，
AELCD，故A错误：
由HEHBC、HE=BC.四边形BCHE为平行四边形，所以CH//BE,故B正确:
因为DG丄HC,DG丄3C,HCp|BC=C，所以DG丄平而BHC,所以DG丄BH■故C正确：
因为BG//AH,而DE丄AH,所以丄DE,故D正确.
BCD
【答案】AD
先证明/U）为周期函数，周期为兀，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误,结合导数的符号可判断CD的正误.
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