江苏省扬州市高三数学下学期开学考试试题Word格式.docx

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9．已知函数，当时恒有，则关于的不等式的解集为________．

10.在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数的值为．

11.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______________________．

12.函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_____________．

13.在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为．

14.在中，若当面积取最大值时,则．

二.解答题：

本大题共6小题，共计90分

15．（本小题满分14分）已知的内角所对的边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求.

16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，已知平面平面.

（1）若，求证：

；

（2）若过点作直线平面，求证：

平面.

17．（本小题满分14分）如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽m（从拐角处，即图中A，B处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．

（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为θ，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；

（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：

这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？

请说明理由．

18．（本小题满分16分）如图，点A（1，）为椭圆＋＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线AB，AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形．

①求直线BC的斜率；

②求△ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．

19．（本小题满分16分）函数f（x）＝1＋lnx－，其中k为常数．

（1）若k＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若k＝5，求证：

f（x）有且仅有两个零点；

（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值.

20.（本小题满分16分）已知有穷数列，对任意的正整数，都有成立．

（1）若是等差数列，且首项和公差相等，求证：

是等比数列；

（2）若是等差数列，且是等比数列，求证：

．

附加题

1.已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝.求矩阵A，并求出A的逆矩阵．

2.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin被射线θ＝θ0所截得的弦长为2，求θ0的值．

3.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0<

p<

1）．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是．

（1）求p的值；

（2）设该运动员投篮命中次数为，求的概率分布及数学期望E（）．

4.在数列{an}中，an＝cos（n∈N*）

（1）试将an＋1表示为an的函数关系式；

（2）若数列{bn}满足bn＝1－（n∈N*），猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．

参考答案

1.　＋I2.　（－∞，－1）∪（2，＋∞）3.164.5.6.

7.28.　9.10.411.　[1，＋∞）12.　∪（1，＋∞）

13.1014.

15．

（1）由已知,

结合正弦定理得，

所以，

即，即，因为，所以.…………7分

（2）由，得，即，

又，得，

所以，又.………………14分

16.证明：

（1）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因为平面，所以.又因为平面所以平面又因为平面所以.…………7分

（2）在平面内过作，垂足为,因为平面平面,

又因为平面平面,平面,所以平面,

又因为平面，所以,又平面，平面所以平面………………14分

17．解　

（1）由题意，PA＝，QA＝，

所以l＝PA＋QA＝＋………………6分

（2）设f（θ）＝＋，θ∈.

由f′（θ）＝－＋＝，

令f′（θ）＝0，得tanθ0＝.………………10分

且当θ∈（0，θ0），f′（θ）＜0；

当θ∈，f′（θ）＞0，所以f（θ）在（0，θ0）上单调递减，在上单调递增，

所以当θ＝θ0时，f（θ）取得极小值，即为最小值．

当tanθ0＝时，sinθ0＝，cosθ0＝，所以f（θ）的最小值为3，

即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3m.因为3＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．

答：

竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．………………14分

18.解　

（1）把点A（1，）代入＋＝1得n＝6，故椭圆方程为＋＝1.…………2分

（2）①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直．

因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k1，k2，

由

消去y，得（3＋k）x2＋2k1（－k1）x＋（－k1）2－6＝0，

∴点B的横坐标为x＝1－（x＝1为点A的横坐标），

∴点B的纵坐标为y＝－，

即B.………………6分

同理可得点C的坐标为C.

∵k1＋k2＝0，∴直线BC的斜率为kBC＝.………………8分

②设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC的方程为y＝x＋m，代入方程＋＝1得6x2＋2mx＋m2－6＝0，

∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，

∴BC＝·

|x1－x2|＝2·

＝，

又点A到直线BC的距离为d＝，

∴S△ABC＝BC·

d＝＝，

∴当m2＝6，即m＝或m＝－时，△ABC面积取得最大值.

此时，直线BC的方程为y＝x±

.………………16分

19.

（1）解　当k＝0时，f（x）＝1＋lnx.

因为f′（x）＝，从而f′

（1）＝1.

又f

（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y－1＝x－1，

即x－y＝0.………………2分

（2）证明　当k＝5时，f（x）＝lnx＋－4.

因为f′（x）＝，从而当x∈（0,10）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（10，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝10时，f（x）有极小值．

因为f（10）＝ln10－3＜0，f

（1）＝6＞0，所以f（x）在（1,10）之间有一个零点．

因为f（e4）＝4＋－4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．

从而f（x）有两个不同的零点．………………8分

（3）解　方法一　由题意知，1＋lnx－＞0在（2，＋∞）上恒成立，

即k＜在（2，＋∞）上恒成立．

令h（x）＝，则h′（x）＝.

设ν（x）＝x－2lnx－4，则ν′（x）＝.

当x∈（2，＋∞）时，ν′（x）＞0，所以ν（x）在（2，＋∞）上为增函数．

因为ν（8）＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，ν（9）＝5－2ln9＞0，

所以存在x0∈（8,9），ν（x0）＝0，即x0－2lnx0－4＝0.

当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．

所以当x＝x0时，h（x）的最小值为

h（x0）＝.

因为lnx0＝，所以h（x0）＝∈（4,4.5）．

故所求的整数k的最大值为4.………………8分

方法二　由题意知，1＋lnx－＞0在（2，＋∞）上恒成立．

f（x）＝1＋lnx－，f′（x）＝.

①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0在（2，＋∞）上恒成立，

所以f（x）在（2，＋∞）上单调递增．

而f

（2）＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．

②当2k＞2，即k＞1时，

当x∈（2,2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以当x＝2k时，f（x）有最小值f（2k）＝2＋ln2k－k.

从而f（x）＞0在（2，＋∞）上恒成立等价于2＋ln2k－k＞0.

令g（k）＝2＋ln2k－k，则g′（k）＝＜0，从而g（k）在（1，＋∞）为减函数．

因为g（4）＝ln8－2＞0，g（5）＝ln10－3＜0，

所以使2＋ln2k－k＞0成立的最大正整数k＝4.

综合①②，知所求的整数k的最大值为4.

20.证明：

（1）依题意，，且，………………2分

因为，①

所以（），②

①②得，（），③………………4分

所以（），④

③④得，（），即（），………………6分

①中，令得，，即，所以，所以，，

从而，即证是等比数列；

………………8分

（2）因为是等比数列，不妨设公比为，

①②得，（），

即（），………………13分

因为是等差数列，所以，此时（）且对也适合，

所以．………………16分

附加题参考答案

1.解：

　由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝可得，＝6，

即c＋d＝6；

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝，可得＝，

即3c－2d＝－2，解得即A＝………………6分

A的逆矩阵是………………10分

2.解　圆ρ＝4sin的直角坐标方程为（x－1）2＋（y－）2＝4，

射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y＝kx（x≥0，k＞0）．………………6分

圆心（1，）到直线y＝kx的距离d＝.

根据题意，得2＝2，解得k＝.

即tanθ0＝，又θ0∈，所以θ0＝.………………10分

3.解：

（1）设事件：

“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件：

“前两次投篮均不中”，

依题意，，解得；

（3分）

（2）依题意，的所有可能值为0，1，2，3，

且，，

，故，

的概率分布表为：

1

2

3

………………8分

E（）（次）．

E（）………………10分

4.解　

（1）an＝cos＝cos

＝22－1，

∴an＝2a－1，………………2分

∴an＋1＝±

，又n∈N*，n＋1≥2，an＋1＞0，

∴an＋1＝.………………3分

（2）当n＝1时，a1＝－，b1＝1－2＝－1，∴a1＞b1，

当n＝2时，a2＝，b2＝1－＝，∴a2＝b2，

当n＝3时，a3＝，b3＝1－＝，∴a3＜b3，

猜想：

当n≥3时，an＜bn，下面用数学归纳法证明．………………5分

①当n＝3时，由上知，a3＜b3，结论成立．

②假设当n＝k，k≥3，n∈N*时，ak＜bk成立，

即ak＜1－，

则当n＝k＋1时，a