江苏省南京市溧水区第二高级中学第三高级中学等三校联考届高三数学上学期期中试题Word文件下载.docx
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8．已知数列{an}是等比数列，且a1a3a5＝8，a7＝8，则a1的值是▲．
9．已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，
则三棱锥D－ABC的体积是▲．
10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（－1，0）的直线l与圆C：
x2＋y2－2x＝0交于A，B两点，若CA⊥CB，则直线l的斜率是▲．
11．已知α∈（0，），且P（4，3）是α－终边上一点，则cosα的值是▲．
12．实数x，y满足条件xy＋1＝4x＋y且x＞1，则（x＋1）（y＋2）的最小值是▲．
13．已知AB是半径为3的圆M的直径，点C是圆周上除A，B外一点，若点P满足＝2，
则·
的值是▲．
14．已知函数f（x）＝且g（x）＝f（x）－mx－m在（－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC＝csinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，a＋b＝10，求△ABC的面积．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．
E
D
B
1
A
C
求证：
（1）DE∥平面B1BCC1；
（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，点C，D是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线AC，BD交x轴分别于点M，N，求证：
·
为定值．
18．（本小题满分16分）
如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD．AB，AD的长分别为2m和4m，
上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝．
图1图2图3图4
（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；
（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．
19．（本小题满分16分）
等差数列{an}公差大于零，且a2＋a3＝，a22＋a32＝，记{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn．
（1）求Sn；
（2）若q为正整数，且存在正整数k，使得Tk，T3k∈{S2，S5，S6}，求数列{bn}的通项公式；
（3）若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式．
20．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝x2－（a＋2）x＋2，g（x）＝lnx，a∈R．
（1）若曲线y＝g（x）在x＝1处的切线恰与曲线y＝f（x）相切，求a的值；
（2）不等式f（x）≥xg（x）对一切正实数x恒成立，求a的取值范围；
（3）已知a＜2，若函数h（x）＝f（x）＋ag（x）＋2a在（0，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围．
2019-2020学年度第一学期高三期中考试
数学附加题
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：
矩阵与变换
已知x，y∈R，矩阵A＝有一个属于特征值－2的特征向量α＝，
（1）求矩阵A；
（2）若矩阵B＝，求A－1B．
B．选修4—4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，P为曲线C1：
（θ为参数）上的动点，Q为曲线C2：
（t为参数）上的动点，求线段PQ的最小值．
C．选修4—5：
不等式选讲
设a，b，c为正实数，求证：
＋＋≥．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AP＝AB＝1，F，E分别是PB，PC中点．
（1）求DE与平面PAB所成角的正弦；
（2）求平面ADEF与平面PDE所成锐二面角的值．
23．（本小题满分10分）
2020年6月，第十六届欧洲杯足球赛将在12个国家的13座城市举行.某体育网站组织球迷对德国、西班牙、法国、葡萄牙四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.
（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；
（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为，男球迷选择德国队的概率为，记X为三人中选择德国队的人数，求X的分布列和数学期望.
南京市建邺高级中学、溧水第二高级中学期中考试
高三数学参考答案2019.11
1．{2，3}2．3．804．5．26．7．－28．19．
10．±
11．12．2713．7214．（－，－2]∪（0，]
15．解：
（1）因为，
由正弦定理可得：
所以…………4分
又因为…………5分
所以…………6分
（2）因为…………8分
所以…………10分
所以…………14分
16．证明：
（1）直三棱柱ABC－A1B1C1中，
，
所以四边形是平行四边形，且
所以为中点，…………2分
同理为中点，
又因为平面，平面，
（2）直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面，
因为平面，所以，
因为，，平面
所以平面…………12分
又因为平面
所以平面平面…………14分
17．解：
（1），…………2分
解得：
所以椭圆方程为：
…………4分
（2）设，
则：
…………6分
所以…………8分
同理…………10分
所以
又因为，…………14分
18．解：
（1）如图，过作与地面垂直的直线交，于点，，交劣弧于点，
的长即为拱门最高点到地面的距离．
在中，，，
所以，圆的半径．
所以．…………4分
答：
拱门最高点到地面的距离为5．
（2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点．
当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离
之和；
当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离．连接
由
（1）知，在中，…………6分．
以为坐标原点，水平直线为轴，建立如图所示的坐标系．
①当点在劣弧上时，．
由，，由三角函数定义，
得
则．…………8分
所以当，即时，取得最大值．…………10分
②当点在线段上时，．连接，设，在中，
则，．
由，得．
所以．…………13分
又当时，．
所以在上递增．
所以当时，取得最大值5．
因为，所以的最大值为．…………15分
综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m。
……16分
19．解：
（1）设{an}公差为d，d＞0，
因为a2＋a3＝，a22＋a32＝，
所以a1＋d＋a1＋2d＝，（a1＋d）2＋（a1＋2d）2＝，
解得a1＝，d＝，
于是Sn＝n＋×
＝．…………4分
（2）{S2，S5，S6}＝{，，}
当q＝1时，Tk＝kb1，T3k＝3kb1，＝3，舍；
…………5分
当q≠1时，Tk＝，T3k＝，所以＝1＋qk＋q2k，…………6分
因为q∈N*且q≠1，所以q≥2，
因此≥1＋2＋4＝7，
于是Tk＝，T3k＝，
因此1＋qk＋q2k＝7，解得qk＝2或－3（舍），…………8分
从而q＝2，k＝1，代入Tk＝得b1＝
所以bn＝3×
2n－2…………10分
（3）因为Sn＝为整数项，所以n＝4k或者4k－1，k∈N*
当n＝4k－1，k∈N*时，Sn＝k（4k－1）；
当n＝4k，k∈N*时，Sn＝k（4k＋1）；
……………………12分
因为Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，
且k（4k－1）＜k（4k＋1）＜（k＋1）[4（k＋1）－1]＜（k＋1）[4（k＋1）＋1]，
所以当n为奇数时，cn＝（4×
－1）×
＝；
当n为偶数时，cn＝×
（2n＋1）＝；
所以cn＝……………………16分
20．解：
（1）因为g′（x）＝，所以k＝g′
（1）＝1，
又切点为（1，0）
因此曲线y＝g（x）在x＝1处的切线为y＝x－1，…………2分
将y＝x－1与y＝x2－（a＋2）x＋2联立，消去y得：
x2－（a＋3）x＋3＝0，
由题意知△＝（a＋3）2－12＝0，
解得a＝－3±
2．…………4分
（2）因为f（x）≥xg（x），
所以x2－（a＋2）x＋2≥xlnx，
即a＋2≤x＋－lnx，
设φ（x）＝x＋－lnx，x＞0，
则φ′（x）＝，…………6分
当x∈（0，2）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（2，＋∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；
因此φ（x）m
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